Gehört zu: Mathematik
Siehe auch: Koordinatensysteme, Lie-Gruppen

Stand: 26.08.2025

Topologische Manigfaltigkeit

Die Grundidee ist, dass eine solche Manigfaltigkeit lokal Euklidisch ist; d.h. eine Euklidische Topologie hat.

Definition nach Prof. Weitz (vorläufig)  https://youtu.be/DYGLqS8A0IE?feature=shared

Eine (topologische) Manigfaltigkeit ist ein Topologischer Raum, der lokal Euklidisch ist.

Das bedeutet, dass jeder Punkt eine Umgebung hat, die homöomorph zu einer offenen Teilmenge eines Euklidischen Raums wie \( \mathbb{R}, \mathbb{R}^2, \mathbb{R}^3,\ldots\) ist.

Wir möchten für solche Topologischen Manigfaltigkeiten einen Dimensionsbegriff haben. Deswegen definieren wir noch etwas anders:

Eine n-dimensionale (topologische) Manigfaltigkeit ist ein Topologischer Raum, der lokal hmöomorph zu \( \mathbb{R}^n \) ist.

Dann will man noch einige “pathologische” Fälle ausschliessen. Deswegen fügen wir zur Definition noch zwei spezielle Forderungen hinzu und definieren nun:

• Das erste Abzählbarkeitsaxion muss erfüllt sein.
• Der Raum ist ein Haussdorffraum.
• Der Raum ist lokal homöomorph zu \( \mathbb{R}^n \)

Neben dem Begriff der “Topologischen Manigfaltigkeit” gibt es noch den Begriff der “Differenzierbaren Manigfaltigkeit” das brauchen wir später bei den Lie-Gruppen und der Quantenphysik.

Topologischer Raum

Video: https://youtu.be/3k93g0GZXUg

Da gibt es offene Mengen, Umgebungen evtl. eine Ordnung, evtl. eine Metrik???

Man möchte die intuitiven Konzepte wie “Nähe” und “Grenzwert” für sehr allgemeine Mengen fassen (ohne eine Metrik zu benutzen).

Wir definieren zu einer Grundmenge M:

Eine Menge \( \mathbb{O} \) von Teilmengen von M heisst “Topologie” auf M, wenn folgendes gilt:

1. \( A \in \mathbb{O} \land B \in \mathbb{O} \Rightarrow A \cap B \in \mathbb{O} \)
2. \( \forall A_i \in \mathbb{O} \Rightarrow \bigcup\limits_i A_i \in \mathbb{O} \)
3. \( \emptyset \in \mathbb{O} \land M \in \mathbb{O} \)

Die Elemente von \(\mathbb{O} \) nennt man “offene” Mengen.

Wenn wir einen Metrischen Raum haben, induziert die Metrik auf natürliche Weise eine Topologie.

Wir können aber einiges auch schon ohne Metrik, nur mit Topologie, definieren z.B. den Grenzwert:

Wir sagen eine Folge \(x_i (i \in N) \) konvergiert gegen einen Grenzwert x, geschrieben:

\( x = \lim\limits_{i \to \infty} x_i  \)

genau dann, wenn es für jede (noch so kleine) offene Menge U mit x ∈ U ein i_o ∈ N gibt, sodass  x_i ∈ U für alle i ≥ i₀.

Abzählbarkeitsaxiom

xyz

Hausdoffraum

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