Gehört zu: Mathematik
Siehe auch: Koordinatensysteme, Metrik, Lie-Gruppen
Stand: 27.08.2025
Warum und wozu Manigfaltigkeiten
Warnung / Disclaimer
Diesen Blog-Artikel schreibe ich ausschließlich zu meiner persönlichen Dokumentation; quasi als mein elektronisches persönliches Notizbuch. Wenn es Andere nützlich finden, freue ich mich, übernehme aber kleinerlei Garantie für die Richtigkeit bzw. die Fehlerfreiheit meiner Notizen. Insbesondere weise ich darauf hin, dass jeder, der diese meine Notizen nutzt, das auf eigene Gefahr tut. Wenn ich Podukteigenschaften beschreibe, sind dies ausschließlich meine persönlichen Erfahrungen als Laie mit dem einen Gerät, welches ich bekommen habe.
Maningfalten braucht man beispielsweise, wenn man Gegenstände behandeln will, die nicht so flach wie die Euklidische Ebene, sondern “gekrümmt” sind.
Das klassische Beispiel, mit dem Karl Friedrich Gauss (1777-1855) zu kämpfen hatte, ist die Erdoberfläche, die er als zweidimensionale Manigfaltigkeit behandeln wollte.
Gauss war der Doktorvater von Bernhard Riemann (1826-1866), der den Begriff der Manigfaltigkeiten einführte.
Topologischer Raum
Bevor wir Manigfaltigkeiten behandeln, müssen wir uns noch kurz erinnern, wie das mit Topologischen Räumen war.
Video: https://youtu.be/3k93g0GZXUg
Da gibt es offene Mengen, Umgebungen, stetige Abbildungen, Grenzwerte, evtl. eine Ordnung, evtl. eine Metrik???
Man möchte die intuitiven Konzepte wie “Nähe” und “Grenzwert” für sehr allgemeine Mengen fassen (ohne eine Metrik zu benutzen).
Wir definieren zu einer Grundmenge M:
Eine Menge \( \mathbb{O} \) von Teilmengen von M heisst “Topologie” auf M, wenn folgendes gilt:
- \( A \in \mathbb{O} \land B \in \mathbb{O} \Rightarrow A \cap B \in \mathbb{O} \) (endlich viele)
- \( \forall A_i \in \mathbb{O} \Rightarrow \bigcup\limits_i A_i \in \mathbb{O} \) (auch unendlich viele)
- \( \emptyset \in \mathbb{O} \land M \in \mathbb{O} \)
Die Elemente von \(\mathbb{O} \) nennt man “offene” Mengen.
Wenn wir einen Metrischen Raum haben, induziert die Metrik auf natürliche Weise eine Topologie.
Wir können aber einiges auch schon ohne Metrik, nur mit Topologie, definieren z.B.:
Stetigkeit
Intuitiv bedeutet “stetig” dass bei kleinen Änderungen im Argument, der Funktionswert sich auch nur “entsprechend” wenig ändert.
Für Topologische Räume können wir das formal so definieren:
Eine Abbildung f von einem Topologischen Raum A in einen anderen topologischen Raum B
\( f: A \to B \)heist stetig, wenn die Urbilder offener Mengen wieder offene Mengen sind.
Homöomorphismus
Ein Homöomorphismus ist eine bijektive, stetige Abbildung, deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist.
Wenn es zwischen zwei Topologischen Räumen einen Homöomorphismus gibt, nennt man die Räume homöomorph, was umgangssprachlich meint “sieht so aus wie”.
Grenzwert (Limes)
Wir sagen eine Folge \(\left(x_i\right)_{ i \in N} \) konvergiert gegen einen Grenzwert x, geschrieben:
\( x = \lim\limits_{i \to \infty} x_i \)genau dann, wenn es für jede (noch so kleine) offene Menge U mit x ∈ U ein io ∈ N gibt, sodass xi ∈ U für alle i ≥ i0.
Umgebungen
Eine Teilmenge U von M heisst Umgebung eines Punktes x aus M, genau dann wenn es eine offene Menge O gibt, sodass:
\( x \in O \subset U \\ \)Hausdoffraum
Ein Topologischer Raum M heisst Hausdorff Raum, wenn es für je zwei verschiedene Punkte x und y aus M jeweils offene Umgebungen Ux und Uy gibt, die diese Punkte enthalten und sich nicht überschneiden.
Dies nennt man auch das “Trennungsaxiom”.
In einem Hausdorff Raum ist damit der Limes einer Folge eindeutig.
Abzählbarkeitsaxiom
xyz
Topologische Manigfaltigkeit
Die Grundidee ist, dass eine solche Manigfaltigkeit lokal Euklidisch ist; d.h. eine Euklidische Topologie hat.
Definition nach Prof. Weitz (vorläufig) https://youtu.be/DYGLqS8A0IE?feature=shared
Eine (topologische) Manigfaltigkeit ist ein Topologischer Raum, der lokal Euklidisch ist.
Das bedeutet, dass jeder Punkt eine Umgebung hat, die homöomorph zu einer offenen Teilmenge eines Euklidischen Raums wie \( \mathbb{R}, \mathbb{R}^2, \mathbb{R}^3,\ldots\) ist.
Wir möchten für solche Topologischen Manigfaltigkeiten einen Dimensionsbegriff haben. Deswegen definieren wir noch etwas anders:
Eine n-dimensionale (topologische) Manigfaltigkeit ist ein Topologischer Raum, der lokal homöomorph zu \( \mathbb{R}^n \) ist.
Dann will man noch einige “pathologische” Fälle ausschliessen. Deswegen fügen wir zur Definition noch zwei spezielle Forderungen hinzu und definieren nun:
- Das erste Abzählbarkeitsaxion muss erfüllt sein.
- Der Raum ist ein Haussdorffraum.
- Der Raum ist lokal homöomorph zu \( \mathbb{R}^n \)
Neben dem Begriff der “Topologischen Manigfaltigkeit” gibt es noch den Begriff der “Differenzierbaren Manigfaltigkeit” das brauchen wir später bei den Lie-Gruppen und der Quantenphysik.
Karten
Eine Karte ist ein Paar (U,φ) wobei U eine offene Teilmenge der Manigfaltigkeit M ist und \( \phi: U \to V \subset \mathbb{R}^n \) ein Homöomorphismus.
Karten stellen lokale Koordinatensysteme bereit, in denen man einen Teilraum von M wie einen Teilraum von \( \mathbb{R}^n \) behandeln kann.
Differenzierbare Manigfaltigkeiten
Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist ein mathematisches Objekt, das lokal wie ein euklidischer Raum aussieht und auf dem Differenzieren möglich ist.
Zunächst muss das ein n-dimensionaler Topoloischer Raum (s.o.) sein.
Zusätzlich sollen die Übergänge zwischen den lokalen Darstellungen (Kartenwechsel) beliebig oft differenzierbar sein.
