Gehört zu: Physik
Siehe auch: Vektorraum, Relativitätstheorie, Schwarze Löcher, Gravitation, Sphärische Trigonometrie, Metrik
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Stand: 28.11.2021

Schwarzschild-Metrik

Den Einfluss der Gravitation auf die Metrik (aka Krümmung) der Raumzeit kann man z.B. an einem Schwarzen Loch studieren. Dafür hat Karl Schwarzschild (1873 – 1916) schon einfache Formeln gefunden (als Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen in einem speziellen Fall).

Schwarzschild behandelt das Gravitationsfeld einer Punktmasse bzw. einer homogenen kugelförmigen Masse (nicht rotierend und nicht elektrisch geladen).
Zur Beschreibung werden sich dann besonders gut Kugelkoordinaten eignen.

Schwarzschilds Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen

Hierzu habe ich bei Youtube gefunden:

Die Einsteinschen Feldgleichungen in der Allgemeinen Relativitätstheorie lauten ja bekanntlich (wenn wir den Term mit der kosmologischen Konstante gleich weglassen):

\( \Large R_{\mu \nu} – \frac{1}{2} R g_{\mu \nu} = \frac{8 \pi G}{c^4}  T_{\mu \nu}   \)

Unter dem “Lösen” dieser Tensor-Gleichung verstehen wir Folgendes: Der Engergie-Impuls-Tensor \( T_{\mu \nu} \) sein irgendwie gegeben, gesucht ist dann der Metrik-Tensor \(g_{\mu \nu} \) wenn wir weiter davon ausgehen, dass der Ricchi-Tensor und der Ricchi-Skalar sich aus dem Metrik-Tensor ergeben.

Bei der sog. Schwarzschild-Lösung betrachten wir nur den Raum ausserhalb eines Massekörpers und gehen davon aus, dass der Energie-Impuls-Tensor dort Null ist; sog. “Vakuum-Lösung”. Wir haben dann also “nur” noch zu lösen:

\( \Large R_{\mu \nu} – \frac{1}{2} R g_{\mu \nu} = 0  \)

Wir erhalten die Spuren der Tensoren (Matrizen), wenn wir die Gleichung mit dem inversen Metrik-Tensor \( g^{\mu \nu} \) multiplizieren:

\( \Large R_{\mu \nu} g^{\mu \nu} – \frac{1}{2} R g_{\mu \nu}  g^{\mu \nu}= 0  \)

Die Spuren sind dann:

\(\Large R_\mu ^\mu – \frac{1}{2} R \, \delta_\mu ^\mu = 0 \)

Da die Spur des Ricchi-Tensors der Ricchi-Skalar ist, bleibt also:

\( \Large R – \frac{1}{2} R \cdot 4 \)

Also ist auch der Ricchi-Skalar Null und es bleibt von der obigen Einsteinschen Feldgleichung nur noch übrig:

\( \Large R _{\mu \nu} = 0 \)

Zur Lösung dieser Gleichung suchen wir also einen Metrik-Tensor \(g_{\mu \nu} \) zu dem wir “Connection Coeffizienten” \( \Gamma_{\mu \nu}^\sigma \) ermitteln können, aus denen sich dann ein solcher Ricchi-Tensor \( R_{\mu \nu} \) ergibt.

Einfache Lösung mit Schul-Physik

Dazu habe ich ein sehr gutes Papier im Internet gefunden unter: http://www.phydid.de/index.php/phydid-b/article/viewFile/336/454

Das Linienelement der Minkowski-Metrik in kartesischen Koordinaten ist:

\( ds^2 = c^2 t^2 – (dx^2 + dy^2 + dz^2) \)

In Kugelkoodinaten (r, θ, φ) wäre das:

\( ds^2 = c^2 t^2 – \left(dr^2 + r^2 d \theta^2 + r^2 \sin^2{\theta} d\phi^2\right) \)

Wegen der Kugelsymmetrie sind die Winkel “Länge” und “Breite” uninteressant. Von Interesse ist nur noch die radiale Raum-Dimension r und die Zeit-Dimension t. Ein Raum-Zeit-Diagramm in diesen Koordinaten (r und t) ist also in der linken Hälfte (r < 0) leer und das Metrik-Gitter hätte bei r = R_S eine Singularität.

\( ds^2 = c^2 dt^2 – dr^2 \)

Als Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen für den Spezialfall einer einzigen kugelsymmerischen Masse (M) hat Schwarzschild eine Metrik gefunden mit folgendem Linienelement in der radialen Dimension von (für r > R_S) :

\( \Large d s^2 =  g_{rr} \cdot d r^2 = \frac{1}{1 – \frac{R_S}{r}} \cdot d r^2 \)

Mit dem Schwarzschild-Radius von:

\( \Large R_S = \frac{2 \cdot G \cdot M}{c^2} \\ \)
Anders als beim Euklidischen Linienelement ist hier der Vorfaktor g_rr (Element im Metrik-Tensor g) nicht mehr konstant, sondern seinerseits eine Funktion von r.

In dieser Metrik (Schwarzschild-Metrik) wäre also der Abstand von r₁ bis r₂ nicht r₂ – r₁ sondern größer; nämlich:

\( \Delta R = \Large \int\limits_{r_1}^{r_2} \frac{dr}{\sqrt{1 – \frac{R_S}{r}}} = \left[ r \sqrt{1 – \frac{R_S}{r}} + \frac{R_S}{2} \ln{\frac{1+\sqrt{1-\frac{R_S}{r}}}{1-\sqrt{1-\frac{R_S}{r}}}} \right]_{r_1}^{r_2} \)

Dieses Integral habe ich kopiert aus: https://physik.cosmos-indirekt.de/Physik-Schule/Schwarzschild-Metrik

GeoGebra Blatt 2: ds/dr

Kruskal-Szekeres-Koordinaten

Sind Koordinaten für die Schwarzschild-Metrik, die am Ereignishorizont (r=R_S) nicht singulär werden und deswegen gern für die Beschreibung Schwarzer Löcher eingesetzt werden.

Von Arstoteles zur Stringtheorie

Herr Gassner beschreibt in seinem Youtube-Video “Von Aristoteles zur Stringtheorie – Folge 20” als Linienelement:

\( ds^2 = -(1-\frac{R_S}{r}) c^2 t^2 + \frac{1}{1 – \frac{R_S}{r} }dr^2 \)

Wobei der Schwarzschildradius gegeben ist durch:

\( R_S = \frac{2 G M}{c^2} \)

Damit reduzieren wir die Koordinaten auf nur eine Raum-Koordinate und die Zeit-Koordinate, wie wir das weiter unten auch vollständig analytisch aus dem Schwarzschild-Tensor ableiten.

Im obigen Papier wird eine “Senkrechte” betrachtet und das Linienelement der Schwarzschild-Metrik bestimmt. Wenn man dieses Linienelement integriert (numerisch) und dem Euklidischen Abstand gegenüberstellt, bekommt man folgendes Bild:

Abbildung 1: Schwarzschild-Metrik (pCloud: Schwarzschild-Metrik-02.svg)

Ein erster Schritt zum Verständnis ist der Begriff der “Metrik”, der zwei Punkten in einem Vektorraum (oder auch Riemann Raum) einen Abstand zuordnet.

Man sagt auch, dass ein Raum durch eine Metrik eine “Geometrie” bekommt und spricht so vom “Euklidischen Raum” bzw. der “Euklidischen Geometrie”, wenn man die “Euklidische Metrik” verwendet.

Allgemein definiert man den Abstand zweier Punkte  \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) im Vektorraum durch die Länge der Differenz:

\( \Large Abstand =  || \vec{a}  – \vec{b} ||   \)

Metriktensor

Chartesische Koordinaten

Link: Josef M. Gaßner (18) Tensor Feldgleichung  https://youtu.be/keQUeGEkCtQ

Der “Metriktensor” ist ganz einfach eine Matrix mit deren Hilfe wir die Länge eines jeden Vektors definieren können. Beispielsweise in einem drei-dimensionalen Koordinatensystem:

\(\Large g =  \left[ \begin{array}{rrr} g_{11} & g_{12} & g_{13}\\  g_{21} & g_{22} & g_{23} \\  g_{31} & g_{32} & g_{33} \end{array} \right]  \\\)

Nicht jede belibige solche Matrix (Tensor) definiert eine Metrik. Die definierte Metrik muss (1) unabhängig vom Koordinatensystem sein (2) Die definierte Metrik muss den allgemenen Metrik-Axiomen genügen.

Mit Hilfe eines solchen Metriktensors definieren wir dann die Länge des Vektors \(\vec{x}\) ganz einfach als Matrixprodukt:

\(\Large || \vec{x} ||^2  =  \left[ \begin{array}{c} x_1 & x_2 & x_3  \end{array} \right]  g  \left[ \begin{array}{c} x_1 \\\ x_2 \\\ x_3  \end{array} \right] \\\)

In einem Koordinatensystem ergibt sich die Länge als:

\( \Large ||  \vec{x} ||^2 =  \sum\limits_{ij} x_i  \cdot x_j \cdot g_{ij} \\ \)

Oder als Linienelement geschrieben heisst das (mit Einsteinscher Summenkonvention):

\(d s^2 = dx^i \cdot dx^j \cdot g_{ij} \\ \)

So ein infenitesimales Linienelement brauchen wir immer dann, wenn die g_ij nicht konstant sind, sondern noch von den Koordinaten xⁱ in irgendeiner Form abhängen (also ortsabhängig). Wir müssten dann nämlich ggf. integrieren…

Je nach Koordinatensystem wird die Euklidische Metrik wird durch andere Metriktensoren definiert.
In Chartesischen Koordinaten wäre der Metriktensor für die Euklidische Metrik/Geometrie (also das Kronecker Delta)…

\(\Large g_{chartesisch} =  \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\\  0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 1 \end{array} \right]  \\\)

Womit wir die Euklidische Länge (und damit den Abstand) wie klassich haben:

\( \Large ||  \vec{x} ||^2 =  \sum\limits_{i} x_i^2  \)

Andere Koordinatensysteme

Je nach dem, welches Koordinatensystem wir wählen, bekommen wir einen anderen Metriktensor, denn die Basisvektoren sind ja die Tangenten an die Koordinatenlinien.
Beispielsweise haben wir:

In Polar-Koordinaten \((r, \vartheta) \) wäre der Metriktensor für die Euklidische Metrik/Geometrie:

\(\Large g_{polar} =  \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\  0 & r^2  \end{array} \right]  \\\)

Schon bei diesem einfachen Beipiel sehen wir, das die Komponenten des Metriktensors nicht konstant sind, sondern vom Punkt im Raum abhängig sind.
Das Linienelement wäre dann:

\(d s^2 = dr^2 + r^2 \cdot d \vartheta^2 \\ \)

In Zylinder-Koordinaten \((r, \vartheta, z) \) wäre der Metriktensor für die Euklidische Metrik/Geometrie:

\(\Large g_{zylinder} =  \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\\  0 & r^2 & 0 \\  0 & 0 & 1 \end{array} \right]  \\\)

Das Linienelement wäre dann:

\(d s^2 = dr^2 + r^2 \cdot d \vartheta^2 + d z^2\\ \)

In Kugel-Koordinaten \((r, \vartheta, \varphi) \) wäre der Metriktensor für die Euklidische Metrik/Geometrie:

\(\Large g_{kugel} =  \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\\  0 & r^2 & 0 \\  0 & 0 & (r \cdot \sin{\vartheta})^2 \end{array} \right]  \\\)

Das Linienelement wäre dann:

\(d s^2 = dr^2 + r^2 \cdot d \vartheta^2 + r^2 \cdot (\sin{\vartheta})^2 \cdot d \varphi^2\\ \)

Schwarzschild-Metrik für die Dimension “Senkrechte”

Wenn wir die “Raumkrümmung” durch eine (große) Masse verstehen wollen, können wir am einfachsten mit einem sog. “Schwarzen Loch” anfangen, denn da hat Karl Schwarzschild (1873 – 1916) schon eine Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen für uns parat.

Die Schwarzschild-Metrik wird klassischerweise in Kugelkoordinaten dargestellt. Zur Vereinfachung wollen wir zunächst nur eine (Raum-)dimension betrachten: den Abstand r gemessen vom Mittelpunkt eines Objekts mit dem Radius R_S. Dieses r bezeichnen wir als “die Senkrechte”.

Der Schwarzschild-Radius eines jeden Objekts der Masse M (in der Senkrechten) berechnen wir zu:

\( R_S = \frac{2 \cdot G \cdot M}{c^2} \\ \)

Dazu müssen wir den Metriktensor bestimmen.

\( g_{rr} = \frac{d s^2}{d r^2} \)

Von dieser unbekannten Funktion können wir uns zwei Werte leicht klar machen:

• Bei r gegen unendlich geht der Wert gegen 1.
• Bei r gegen R_S geht der Wert gegen unendlich.

Diese beiden Eigenschaften hat folgende Funktion (geraten bzw. als “Regression” durch zwei Punkte konstruiert):

\( g_{rr}(r) = \Large \frac{1}{1 – \frac{R_S}{r}} \\ \)

Unser Linienelement wäre damit also:

\( d s^2 = \Large \frac{1}{1 – \frac{R_S}{r}} \cdot d r^2 \)

In dieser Metrik wäre also der Abstand von r₁ bis r₂ nicht r₂ – r₁ sondern größer; nämlich:

\( \Delta R = \Large \int\limits_{r_1}^{r_2} \frac{dr}{\sqrt{1 – \frac{R_S}{r}}} = \left[ r \sqrt{1 – \frac{R_S}{r}} + \frac{R_S}{2} \ln{\frac{1+\sqrt{1-\frac{R_S}{r}}}{1-\sqrt{1-\frac{R_S}{r}}}} \right]_{r_1}^{r_2} \)

Dieses Integral habe ich kopiert aus: https://physik.cosmos-indirekt.de/Physik-Schule/Schwarzschild-Metrik

Schwarzschild-Metrik für die Dimension “Zeit”

Wenn wir nur die Dimension “Zeit” betrachten, ist im Metriktensor:

\( \Large g_{tt} = \frac{d \tau^2}{d t^2} \)

Von dieser unbekannten Funktion können wir uns zwei Werte leicht klar machen:

• Bei r gegen unendlich geht der Wert gegen 1.
• Bei r gegen R_S geht der Wert gegen 0

Diese beiden Eigenschaften hat folgende Funktion (geraten bzw. als “Regression” durch zwei Punkte konstruiert):

\( g_{tt}(r) = \Large 1 – \frac{R_S}{r} \\ \)

Schwarzschild-Tensor

Der Metriktensor der Schwarzschild-Metrik wäre vollständig:; d.h. mit den Kugel-Koordinaten \( (ct, r, \vartheta, \varphi) \) :

\(\Large g_{\mu \nu} =  \left[ \begin{array}{rrrr} 1 – \frac{R_S}{r} & 0 & 0 & 0\\  0 & – \frac{1}{1- \frac{R_S}{r}} & 0 & 0 \\  0 & 0 & -r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & (r \cdot \sin{\vartheta})^2 \end{array} \right]  \\\)

Wenn man dabei jetzt nur die ersten beiden Dimesionen, also die Zeit und den radialen Abstand vom Mittelpunkt betrachte, also die Winkel \(\varphi\) und \(\vartheta\) ausser acht lässt; d.h. konstant lässt, erhält man als so vereinfachjte Sicht:

\(\Large g_{\mu \nu} =  \left[ \begin{array}{rr} 1 – \frac{R_S}{r} & 0 \\  0 & – \frac{1}{1- \frac{R_S}{r}}   \end{array} \right]  \\\)

Wie in https://youtu.be/ZS22sw4NRDY

Damit haben wir die Schwarzschild-Metrik auf eine Raumdimension (r) und die Zeitdimension (ct) reduziert und können uns an einem zweidimensionalen Raum-Zeit-Diagramm verdeutlichen, was da bei einem Schwarzen Loch nach Schwarzschild geschieht.

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