Gehört zu: Quantenphysik
Siehe auch: Schrödinger-Gleichung, Materiewellen, Komplexe Zahlen, Lineare Algebra, Bra-Ket-Notation
Stand: 15.06.2025 (Klassische Welle, Observable, Zeitabhängigkeit, Korrespondenzprinzip)
Warnung / Disclaimer
Diesen Blog-Artikel schreibe ich ausschließlich zu meiner persönlichen Dokumentation; quasi als mein elektronisches persönliches Notizbuch. Wenn es Andere nützlich finden, freue ich mich, übernehme aber keinerlei Garantie für die Richtigkeit bzw. die Fehlerfreiheit meiner Notizen. Insbesondere weise ich darauf hin, dass jeder, der diese meine Notizen benutzt, das auf eigene Gefahr tut.
Wenn Produkteigenschaften beschrieben werden, sind dies ausschließlich meine persönlichen Erfahrungen als Laie mit dem einen Gerät, welches ich bekommen habe.
YouTube-Video: https://youtu.be/-KSeRfep3Ek?si=4FkHAWmKw3sJ3RQy
Spektrum des Wasserstoffatoms
Ein großes Problem der “Atomtheorie” vor 1925 war das Spektrum des Wasserstoffatoms. Mit dem Bohrschen Atommodell konnte man das nicht vollständig berechnen. Kann man wirklich von Elektronenbahnen im Wasserstoffatom sprechen? Beobachtbar (Umlaufszeit, Radius) waren die Elektronenbahnen nicht.
Werner Heisenberg versuchte deshalb eine Theorie zu entwickeln, in der ausschließlich beobachtbare Größen vorkommen. Das sollte man später “Observablen” nennen. Bei den Spektrallinien waren beobachtbar: die Frequenz und die Intensität.
Die “klassische” Welle
Die klassische Wasserwelle ist ein periodisches Auf und Ab des Wasserstands, abhängig von der Zeit t und dem Ort x.
Zu einem festen Zeitpunkt hängt die Auslenkung y nur noch vom Ort x ab und kann man schreiben:
\( \Large y(x) = A \cdot \sin( \frac{2\pi}{\lambda} \cdot x ) \\ \)
Dabei ist A die Amplitude und λ die Wellenlänge.
Als Abkürzung benutzt man die sog. Wellenzahl \( \Large k = \frac{2 \pi}{\lambda} \) und kann damit schreiben:
\( \Large y(x) = A \cdot \sin(k \cdot x ) \\ \)
An einem festen Ort hängt die Auslenkung y nur noch von der Zeit t ab und man kann schreiben:
\( \Large y(t) = A \cdot \sin( \frac{2\pi}{T} \cdot t) \\ \)
Dabei ist A die Amplitude und T die Periodendauer.
Als Abkürzung benutzt man die sog. Kreisfrequenz \( \Large \omega = \frac{2 \pi}{T} \) und kann damit schreiben:
\( \Large y(t) = A \cdot \sin( \omega \cdot t) \\ \)
Wenn man die Auslenkung der Welle zu jedem Zeitpunkt t und an jedem Ort x haben will, bekommt man:
\( \Large y(x,t) = A \cdot \sin{(k \cdot x – \omega \cdot t)} \\\)
Link: https://youtu.be/MzRCDLre1b4
Komplexe Zahlen
Schrödinger wie auch Heisenberg kamen schnell zu der Erkenntnis, dass man allein mit reelen Zahlen nicht weiter kommt und zu den komplexen Zahlen übergehen muss.
Wenn wir eine komplexe Zahl in Polarkoordinaten (r und φ) schreiben, sieht das so aus:
\( \Large z = r \cdot e^{i \phi} \\\)
Mit Komplexen Zahlen bedeutet eine periodische Schwingung eine gleichförmige Kreisbewegung in der komplexen Zahlenebene. In Polarkoordinaten geschrieben, erhalten wir so die einfachste Form einer Wellenfunktion:
\( \Large \Psi(x,t) = A \cdot e^{i \, (k\cdot x – \omega \cdot t)} \)
Die Wellenfunktionen in der Quantenphysik
Youtube: https://youtu.be/YJjHI7Gxn-s?si=iYv8Kg0MbKDfWvr7
In der klassischen Mechanik (Newton etc.), wird ein Teilchen durch Ort x(t) und Implus p(t) beschrieben mit seinem sog. “Zustand”. Wenn man den Zustand zu einem Zeitpunkt t=0 kennt, also x(0) und p(0), dann kann man alle zuküftigen Zustände berechnen durch Newtons berühmte Gleichung:
\( F = \, – m \ddot x \) d.h. \( F = \, – \dot p \)
In der Quantenphysik macht man das mit der Wellenfunktion Ψ. Sehr allgemein gesagt: Eine Wellenfunktion beschreibt den Zustand eines quantenmechanischen Teilchens.
Der Wertebereich einer Wellenfunktion sind die Komplexen Zahlen. Der Definitionsbereich sind Ort und Zeit Ψ(r,t).
Der Wert ist also eine Komplexe Zahl, veranschaulicht in Polar-Koordinaten durch einen Vektor mit einer Länge, auch “Amplitude” genannt, und einem Winkel, auch Phase genannt.
Für die Darstellung Komplexer Zahlen in Polar-Koordinaten benutzt die Quantenmechanik gerne die sog. Exponential-Darstellung:
\(\Large z ={r} \cdot e^{i \cdot \phi} \\\)Damit kann man sich die Komplexe Zahl gut als Vektor einer bestimmten Länge r (auch genannt Amplitude) mit einem Drehwinkel Φ (auch genannt Phase) vorstellen.
Abbildung 1: Polarkoordinaten (pCloud: Polarkoordinaten.svg)
Da der Wert der Wellenfunktion eine Komplexe Zahl ist, kann man sie nicht “direkt” beobachten; der Betrag der Wellenfunktion zum Quadrat ist aber eine nicht negative reelle Zahl und ist so der Beobachtung zugänglich.
Wir werden später sehen, dass man mit der Wellenfunktion die Wahrscheinlichkeit für den Aufenthalt eines Teilchens an einem bestimmten Ort (Aufenthaltswahrscheinlichkeit) und auch die Wahrscheinlichkeiten anderer Größen, sog. Observable berechnen (vorhersagen) kann. Daher auch der Spruch “Shut up and calculate”, der angeblich auf Richard Feynman (1918-1988) zurückgehen soll…
Woher bekommen wir die Wellenfunktion eines quantenmechanischen Systems? Die Wellenfunktion bekommen wir als Lösung der Schrödinger-Gleichung.
Die Kopenhagener Deutung der Wellenfunktion
Dazu habe ich einen eigenen Blog-Artikel geschrieben: Kopenhagener Deutung.
Operatoren und Observable
Was ist ein Operator?
Ein Operator bildet einfach eine Funktion auf eine andere Funktion ab. Traditionell spricht man dann nicht so allgemein von einer “Abbildung”, sondern von einem “Operator”. Folgendes Beispiel für Operatoren habe ich aus einem Youtube-Video von Prof. Patrick Nürnberger entnommen:
Um zu zeigen, was ein Operator macht, nehmen wir für ein Beispiel als Funktion einfach einmal \( \Psi(x) = e^{-x^2} \) und als Operator nehmen wir, ebenfalls als Beispiel, die zweite Ableitung der Funktion nach x und schreiben diesen Operator als \( \Large \hat A = \frac{d^2}{dx^2} \).
Dann ist dieser Operator angewendet auf unsere Funktion (nach der Kettenregel):
\( \hat A \Psi = \frac{d^2}{dx^2} \, e^{-x^2} = \frac{d}{dx}(-2x \, e^{-x^2}) \\\)
Die Produktregel ergibt dann:
\( \hat A \Psi = -2 \cdot e^{-x^2} + (-2x) \cdot (-2x \, e^{-x^2}) = (4x^2 – 2) e^{-x^2}\)
Was sind Observable?
Im Experiment beobachtbare Größen eines physikalischen Systems, also Messgrößen.
Observable sind z.B.:
- Ort
- Impuls
- Kinetische Energie
- etc.
Operatoren in der Quantenmechanik
Wahrscheinlichkeitsdichte
Den Zustand eines quantenphysikalischen Systems beschreiben wir durch die Wellenfunktion Ψ dieses Systems. Die können wir aber nicht direkt beobachten. Um zu beobachtbaren Größen zu kommen, benutzen wir die oben eingeführten Operatoren, die auf die Wellenfunktion angewendet werden und dann beobachtbare Werte (“Observable”) liefern; aber auch nur als Wahrscheinlichkeitsverteilung (woraus ich Erwartungswerte etc. berechnen kann).
In Analogie zur Kopenhagener Deutung schreiben wir für eine beliebige Observable Q die Wahrscheinlichkeitsdichte als:
\(\Large \rho(Q) = \Psi^* \hat Q \Psi \\\)
Der zur Observablen \( Q \) zugeordnete Operator \(\hat Q \) liefert dann zusammen mit der Wellenfunktion des quantenphysikalischen Systems die Wahrscheinlichkeitsverteilung dieser Observablen (in reelen Zahlen).
In Analogie zur Kopenhagener Deutung schreiben wir für eine beliebige Observable Q den Erwartungswert als:
\(\Large \langle \hat{Q} \rangle= \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \Psi^* \hat{Q} \Psi dx \)
Das Korrespondenzprinzip
Der Begriff “Korrespondeszprinzip” hat je nach Kontext, verschiedene Bedeutungen. In der Quantenmechanik hat ihn z.B. Niels Bohr bei seinem Atommodell eingeführt. In der Wellenmechanik versucht das Korrespondenzprinzip eine Korrespondenz zwischen klassischen Messgrößen und Operatoren herzustellen.
Welcher Operator wird in der Quantenmechanik für welche Observable genommen? Dazu haben wir zwei Beispiele:
Beispiel 1: Die Observable “Ort” (eindimensional):
Operator: \( \Large\hat{x} \Psi(x,t) = x \cdot \Psi(x,t) \normalsize \text{ also Multiplikation}\)
Beispiel 2: Die Observable “Impuls” (eindimensional):
Operator: \( \Large\hat{p} \Psi(x,t) = -i \hbar \frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial x} \normalsize \text{ also Ableitung} \)
Weitere Zuordnungen von Operatoren zu Observablen konstruieren wir daraus. Das nennt man Korrespondenzprinzip.
Fragen wir beispielweise nach dem Operator für die Observable eindimensionale “kinetische Energie”, so beginnen wir mit der klassischen Formel:
\( \Large E_{kin} = \frac{p^2}{2m} \\\)
und ersetzen dann die klassiche Größe Impuls p durch den obenstehenden Impuls-Operator:
\( \Large \hat{E}_{kin} = \frac{{\hat p}^2}{2m} = \frac{-\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2}\\\)
Allgemein besagt das Korrespondenzprinzip, dass wir aus einer klassischen Messgröße, die vom Ort und vom Impuls abhängt, also \(f(x,p)\), in der Quantenmechanik einen “korrespondierenden” Operator bekommen: \( \hat{f}(\hat x, \hat p) \)
