Physik: Relativitätstheorie, Raum-Zeit-Diagramme, Lorentz-Transformation, Minkowski-Metrik und Eigenzeit

30. August 202027. July 2026 dkracht

Gehört zu: Physik
Siehe auch: Kosmologie, Tensoren, Lineare Algebra, Metrik, Allgemeine Relativitätstheorie, Quantenfeldtheorie, Schwarzes Loch
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Stand: 08.12.2024 (Vierer-Vektor, Minkowski-Metrik ausführlicher, Weltlinie, Eigenzeit, Loedel, Lorentz-Faktor, Penrose)

Überschneidungen mit: Relativitätstheorie

Was ist mit “Relativität” gemeint?

Der Begriff der “Relativität” von physikalischen Vorgängen dreht sich darum, dass ein und dieselbe Beobachtung von verschiedenen Beobachtern in verschiedenen Koordinatensystemen gemacht wird. Bei den oben genannten “physikalischen Vorgängen” handelt es sich um die Messung physikalischer Größen wie:

Zeit
Ort
Geschwindigkeit
Impuls
Beschleunigung
Kinetischen Energie
Elektromagnetische Kaft
Maxwell-Gleichungen
…

Dabei könnten zwei Beobachter immer zu übereinstimmenden Ergebnissen kommen (so etwas nennt man dann “invariant”) oder es ergeben sich manchmal unterschiedliche Ergebnisse (“variant”). Im letzteren Fall kommt es also darauf an, welcher Beobachter diese Messung gemacht hat. Somit sind die Ergebnisse also “relativ” zu einem bestimmten Beobachter zu sehen.

Im Falle einer solchen Relativität möchte man die Messergebnisse zwischen Beobachtern formelmäßig “transformieren” können.
Dafür betrachten wir zunächstmal den einfachen Fall, dass sich die Beobachter, gleichförmig und gradlinig zu einander bewegen, also ohne Beschleunigung. Solche Beobachter bzw. deren Koordinatensysteme (Ort und Zeit) nennen wir “Inertialsysteme“.
Ein Beobachter beobachtet Ereignisse, denen er jeweils Ort und Zeit zuordnet.

Raum-Zeit-Diagramm

Solche Ereignisse kann man sich als Punkte in einem sog. Raum-Zeit-Diagramm veranschaulichen, wo die auf der einen Achse die drei Raum-Dimensionen x, y, z auf eine Dimension vereinfacht werden: x. Es bleibt als zweite Achse die Darstellung der Zeit, wobei es sich später als elegant erweisen wird, statt der “echten” Zeit das Produkt aus Lichtgeschwindigkeit und der Zeit, also c · t abzutragen.

Ein Minkowski-Diagramm ist eine ganz einfache grafische Darstellung, nämlich ein rechtwinkliges zweidimensionales Koordinatensystem mit einer Zeitachse und einer Raumachse (also der dreidimensionale Raum auf eine Dimension vereinfacht). Ein Punkt im Minkowski-Diagram wird auch Ereignis genannt, denn der Punkt beschreibt Ort und Zeit. Die Bewegung eines Punktes ist eine Linie im Raum-Zeit-Diagramm und wird seine Weltlinie genannt.

Punkte, die sich gleichförmig und gradlinig bewegen, haben dann als Weltlinie eine Gerade im Raum-Zeit-Diagramm.

Abbildung 1: Minkowski-Diagramm: Weltlinie eines Photons (pCloud: Minkowski_Diagram_Photon.svg)

Weltlinie eines Photons

Die Weltlinien von Teilchen mit konstanter Geschwindigkeit sind Geraden im Minkowski-Diagramm. Üblicherweise wählt man die Einheiten auf den Achsen so, dass die Weltlinien von Licht (Photonen) eine Steigung von 45 Grad haben.

Mit so einem Raum-Zeit-Diagramm stellen wir also einen 2-dimensionalen Vektorraum dar und suchen nach Transformationen, die Koordinaten eines Punktes (Ereigniss genannt) von einem Koordinatensystem in ein anderes transformieren. Da es sich bei den Koordinatensystemen um Intertialsystem handeln soll, könnten wir vermuten, dass die Transformationen auch ganz einfache sind z.B. Linerare Transformationen, die dann als Matrix dargestellt werden könnten.

Relativität bei Galileo

Bei Galileo (1564-1642) sind die die physikalischen Gesetze, speziell die Bewegungsgleichungen, identisch in allen Inertialsystemen. Es gibt kein bevorzugtes System, was etwa “in Ruhe” wäre. Jede Bewegung muss relativ zu einem Bezugspunkt gemessen werden.

Speziell für Geschwindigkeiten gilt nach Galileo das auch intuitiv einleuchtende “Additionsgesetz” d.h. wenn ein Beobachter in seinem System ein Objekt mit der Geschwindigkeit v₁ misst, dann wird ein anderer Beobachter, der sich relativ zum ersten Beobachter mit der Geschwindigkeit v bewegt, die Geschwindigkeit desselben Objekts zu v₂ = v₁ + v messen. Wobei da noch die Richtungen berücksichtigt werden müssen, also: \( \vec{v_2} = \vec{v_1} + \vec{v} \)

Auch die Lichtgeschwindigkeit wäre in unterschiedlichen Inertialsystemen unterschiedlich.

Die Galilieo-Transformationsgleichungen wären demnach:

\( \tilde{t} = t \\ \tilde{x} = -v \cdot t + x \\ \)

Was als Galileo-Transformationsmatrix ergibt:

\( F = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ -v & 1 \\ \end{array} \right] \\ B = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ v & 1 \\ \end{array} \right] \)

Wobei F (=foreward) und B (=backward) wieder die Identität ergeben.

Youtube Video eigenchris 103d: https://youtu.be/ndjiLM5L-1s

Abbildung 2: Galilio-Transformation (pCloud: Gallileo.svg)

Gallileo/Newton-Transformation (blau -> rot)

Bei der Koordinatentransformation nach Gallileo/Newton verschiebt sich “nur” die x-Achse, die Zeit (t) ist in jedem bewegten Inertialsystem gleich. Deswegen würde jede Geschwindigkeit (also auch die Lichtgeschwindigkeit) verändert.

Lorentz & Co.

Die sog. Lorentz-Transformationen entstanden nach 1892 um zunächst die damals vorherrschende Äthertheorie in Einklang mit den Ergebnissen des Michelson-Morley-Experiments zu bringen. (Albert A. Michelson 1881 in Potsdam). Die Lorentz-Transformationen wurden erst 1905 von Heny Poicaré (1854-1912) so formuliert, wie wir sie heute kennen:

\( c \cdot \tilde{t} = \gamma (ct – \beta x) \\ \tilde{x} = \gamma ( -\beta c t + x) \)

wobei \( \beta = \frac{v}{c} \) und \( \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} \)

Wobei diese Faktoren so bestimmt sind, dass die Lichtgeschwindigkeit in allen Intertialsystemen gleich ist.

Als Lorentz-Transformationsmatrix ergibt sich:

\( F = \gamma \left[ \begin{array}{rr} 1 & -\beta \\ -\beta & 1 \\ \end{array} \right] \\ B = \gamma \left[ \begin{array}{rr} 1 & +\beta \\ +\beta & 1 \\ \end{array} \right] \)

Youtube Video eigenchris 104b: https://youtu.be/240YGZmV1b0

Abbildung 3: Lorentz-Transformation (pCloud: Lorentz.svg)

Lorentz-Transformation (blau -> rot)

Bei der Lorentz-Transformation werden beide Achsen in Richtung auf die Diagonale gedreht. Dadurch werden die ursprünglichen Quadrate zu Rhomben und die Lichtgeschwindigkeit beibt gleich (die Diagonale). Damit bleibt die Skalierung (also die Achsenteilungen) bei der Lozenz-Transformation so, dass die Flächen der Rhomben gleich den Flächen der ursprünglichen Quadrate sind. Für diese Skalierung sorgt der sog. Lorentz-Faktor γ (siehe oben).

Wenn man in so einem Minkowski-Diagramm zwei Intertialsysteme darstellen will, ist das eine rechtwinklig (chartesisch) und die Achsen des anderen sind gemäß Lorentz-Transformation schief dazu – das stört bei Manchen das ästetische Empfinden. Deshalb greift man in so einem Fall auch manchmal zu einer Variante des Minkowsiki-Diagramms, dem Loedel-Minkowsik-Diagramm (nach Ernesto Palumbo Loedel 1901-1962).

Auch der Begriff der Gleichzeitigkeit wird relativ (https://en.wikipedia.org/wiki/Relativity_of_simultaneity)

Abbildung 4: Gleichzeitigkeit (Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Relativity_of_simultaneity#/media/File:Relativity_of_Simultaneity_Animation.gif)
Relativity of Simultaneity (Copyright: Wikipedia)

Bei Ereignissen, die raumartig (s.u.) getrennt sind (|x| > ct) kann durch eine Lorentz-Transformation die Gleichzeitigkeit und damit die Kausalität relativiert werden.

SRT Einsteins Spezielle Relativitätstheorie

Dazu habe ich einen eigenen Blog-Artikel geschrieben: Spezielle Relativitätstheorie

SRT Minkowski-Raum – Minkowski-Metrik – Linienelement

Hermann Minkowski (1864-1909) war Mathematiker und lehrte an den Universitäten Bonn, Königsberg, Zürich und hatte schließlich einen Lehrstuhl in Göttingen. In Zürich war er einer der Lehrer von Albert Einstein.

Auf Minkowski geht die Idee zurück, die Welt (wie Lorenztranformation und Spezielle Relativitätstheorie) als einen nicht-euklidischen vierdimensionalen Raum zu verstehen. Wobei er mit anschaulichen Bildern (grafischen Darstellungen) anstatt mit schwerer verständlichen Formeln arbeitete.

Zwei Begriffe kommen sofort bei “Minkowski” ins Gespräch:

Minkowski-Raum
Minkowski-Diagramm

Der Minkowski-Raum ist eine “größere Geschichte”: Ein vierdimensionaler Raum mit einer speziellen Metrik, denn in einem Raum möchte man ja Abstände zweier Punkte messen, Länge von Vektoren, Winkel und Flächen bestimmen. Eine solche Metrik kann man beispielsweise durch ein Skalarprodukt von Vektoren definieren.
Eine einfache Definition der Metrik im Minkowski-Raum ist gegeben durch (“Linienelement”):

ds² = c² dt² – (dx² + dy² + dz²)

So etwas schreiben die Oberspezialisten gern als einen Tensor, auch “metrischer Tensor” genannt: \( ds^2 = g_{\mu \nu} dx^{\mu} dx^{\nu}\) (bei einem Tensor wird “implizit” summiert.)

Wenn man unser Universum als Minkowski-Raum verstehen wollte, mit einer durch das Linienelement

ds² = c² dt² – (dx² + dy² + dz²)

definierten Metrik, wäre das ein “flacher” Raum, also nicht gekrümmt (so zu sagen ohne Gravitation).

In so einem Minkowski-Raum, also mit der Minkowski-Metrik, lässt sich die Spezielle Relativitätstheorie (SRT) sehr einfach grafisch darstellen.

Das Linienelement der Minkowski-Metrik

Hermann Minkowski (1864-1909) war ein deutscher Mathematiker, der zeitweise auch Einsteins Lehrer in Zürich war.

Ein Minkowski-Diagramm ist ja relativ locker definiert (s.o.). Da haben wir eben die Zeit als weitere Dimension und beschreiben damit eine Ereignis in der Raumzeit durch einen Punkt mit vier Koordinaten:

Ereignis: e = (t, x, y, z)

Von einem Minkowski-Raum spricht man, wenn man auch noch eine Metrik hat, womit dann Abstände definiert werden. Allerdings wollen wir eine Metrik, die Lorentz-invariant ist; d.h. der Abstand zweier Ereignisse (Punkte) soll in allen Inertialsystemen, die durch Lorentz-Transformation in einander übergehen, der gleiche sein. Mit einem einfach gedachten Linienelement:

ds² = c² dt² + dx² + dy² + dz²

funktioniert das leider nicht (kann man ausrechnen).

Als sog. Minkowski-Metrik definiert man stattdessen das Linienelement:

ds² = c² dt² – (dx² + dy² + dz²)

Die dadurch definierte Metrik ist tatsächlich Lorentz-invariant (kann man ausrechnen). Formal wird diese Minkowski-Metrik definiert durch einen Metrik-Tensor, den sog. Minkowski-Tensor (siehe dort).

So eine Metrik definiert zunächst einmal die Länge eines Vektors \( \vec{S} = ( x^1, x^2, x^3, x^4 ) \) als:

\( || \vec{S} || = \sqrt{\vec{S} \cdot \vec{S}} = \sqrt{g_{ij} x^i x^j} \)

Um den Abstand zweier Ereignisse in unserer Raumzeit s₁ = (t₁, x₁, y₁, z₁) und s₂ = (t₂, x₂, y₂, z₂) zu ermitteln, nehmen wir die Länge des Differenz-Vektors:

\( s^2 = || s_2 – s_1 || = c^2 (t_2 – t_1)^2 – (x_2 – x_1)^2 – (y_2 – y_1)^2 – (z_2 – z_1)^2 \)

In so einem Minkowski-Raum, also mit der Minkowski-Metrik, lässt sich die Spezielle Relativitätstheorie (SRT) demnach sehr einfach grafisch darstellen eben weil diese Metrik Lorentz-invariant ist.

Man sagt auch: Wenn man unser Universum als Minkowski-Raum verstehen wollte, mit dieser Metrik, wäre das ein “flacher” Raum, also nicht gekrümmt (so zu sagen ohne Gravitation).

Raumartig, Zeitartig, Lichtartig

Für den Abstand zweier Ereignisse können wir unterscheiden:

\( s^2 > 0 \) : Der Abstand wird “zeitartig” genannt – die Ereignisse sind zeitartig getrennt
\( s^2 < 0 \) : Der Abstand wird “raumartig” genannt – die Ereignisse sind raumartig getrennt
\( s^2 = 0 \) : Der Abstand wird “lichtartig” genannt

Auf eine Raum-Dimension vereinfacht, ist der Minkowski-Abstand: \( s^2 = c^2 t^2 – x^2 \). Damit ist dann:

Zeitartiger Abstand: \( x < ct \)
Raumartiger Abstand: \( x > ct \)
Lichtartiger Abstand: \( x = ct \)

Abbildung 5: Minkowski-Metrik (pCloud: Minkowski-02.svg)

Kurven als Weltlinie

Die Begriffe “raumartig” (space like) und “zeitartig” (time like) werden auch für Kurven im Minkowski-Diagramm verwendet.
Dabei betrachtet man infenitesimal kleine Kurvenstücke und fragt sich, ob diese als Intervall immer raumartig oder immer zeitartig sind.
Ein wichtiges Thema sind “closed timelike curves”…

Minkowski-Abstand

Man darf sich von der Optik des Minkowski-Diagramms nicht zu vereinfachten Schlüssen verführen lassen. Bei einem Minkowski-Abstand von: \( s^2 = c^2 t^2 – x^2 \) liegen beispielsweise alle Punkte (Ereignisse), die vom Koordinatenursprung den Minkowski-Abstand 1 haben, nicht auf der Kugelschale mit Radius 1, sondern die Menge (ct, x):

\( 1 = {ct}^2 – x^2 \)

Das ist eine Hyperbel im Minkowski-Diagramm. Dort liegen also alle Punkte im ursprünglichen Bezugssystem (ct,x), die eine Abstand 1 vom Koordinatenursprung haben.

Da dieser Anstand invariant ist, liegt dort also auch für jedes Lorenz-transformierte Bezugssystem (ct’, x’) der Punkt auf der transformierten Raum-Achse, der einen Abstand 1 vom Ursprung hat.

Wir müssen also immer daran denken, dass im Minkowski-Raum nicht die vom Diagramm “vorgegaukelte” Euklidische Geometrie gilt, sondern der Minkowski-Abstand.

Abbildung 6: Minkowski-Abstand (pCloud: hyperbel.svg)

Minkowski-Metrik

Vierer-Vektoren

Im Raum-Zeit-Diagramm ist ein Punkt ein Ereignis, beschrieben durch seinen Ort im Raum und den Zeitpunkt; man benötigt im dreidimensionalen Raum also 4 Koordinaten (siehe Koordinatensysteme). Man spricht deswegen auch von einem Vierer-Vektor:

\( \vec{S} = \left[ \begin{array}{c} c t \\\ x \\\ y \\\ z \end{array} \right] \\\)

Mit der Vektor-Basis ausgedrückt ist das:
\( \vec{S} = ct \cdot \vec{e_t} + x \cdot \vec{e_x} + y \cdot \vec{e_y} + z \cdot \vec{e_z} \\ \)

Entsprechend hätte man Vierer-Geschwindigkeit, Vierer-Impuls, Vierer-Beschleuigung etc.

In der Physik interessiert oft die Veränderung einer Größe mit der Zeit. Dazu müsten wir nach er Zeit differenzieren.

Der springende Punkt bei diesen “Vierer-Vektoren” ist aber nicht die eigentlich triviale Tatsache, dass die Vektoren vier Komponenten haben, sondern die Art und Weise, wie nach der Zeit differenziert wird. Die Zeit-Koordinate (“Koordinatenzeit”) ist ja in jedem Interialsystem eine andere, weshalb für die Differenzierung von Vierer-Vektoren nach der Zeit die sog. Eigenzeit (engl. proper time, Symbol τ) genommen wird. Wobei beim Differenzieren von dieser Vektoren genaugenommen die covariante Ableitung genommen wird.

Bei einer genaueren Definition des Begriffs “Vierer-Vektor” würde man noch die Invarianz der Vektor-Länge bei Lorenztransformationen fordern. Die Länge eines Vierer-Vektors ergibt sich dabei durch die Metrik.

Solche Vierervektoren spielen eine wichtige Rolle bei den Einsteinschen Feldgleichungen der ART.

Siehe auch: http://walter.bislins.ch/blog/index.asp?page=Bewegungsgleichung+der+Speziellen+Relativit%E4tstheorie

Eigenzeit in der Minkowski-Metrik

Als Eigenzeit (Symbol τ) eines bewegten Objekts (entlang einer beliebigen Weltlinie) bezeichnet man die Zeit, die eine “mitbewegte” Uhr zeigt. Jede Weltlinie hat eine eigene Eigenzeit.
Wir werden sehen: Die Eigenzeit ist die auf einer Weltlinie gemessene Länge in der Minkowski-Metrik und deshalb auch Lorenz-invariant.

Im Gegensatz dazu ist die Zeitkoordinate (auch Koordinatenzeit) eben eine von vier Koordinaten im verwendeten Koordinatensystem und transformiert sich, wenn wir auf ein anderes Koordinatensystem übergehen.

Für den einfachen Fall eines Objektes, dass sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit \( \vec{v} \) bezüglich unseres Bezugssystems (ct, x) bewegt, ist das ganz einfach. Dann ist die Weltlinie dieses Objekts eine Gerade in unserem Koordinatensystem und wir häten die Bewegung:

\( x(t) = ||\vec{v}|| \cdot t \)

Wir können an ein solches Objekt dann ein Koordinatensystem (ct’, x’) “anheften”, was wieder ein Intertialsystem wäre. Man spricht vom “mitbewegten” System. Den Zusammenhang liefert die Lorenz-Transformation. Wenn wir jetzt einen Zeitabschnitt von \(\Delta t \) (in unserem Bezugssystem) betrachten, wäre die Frage. welche Zeit im mitbewegten Bezugssystem dann vergeht.

\( \Delta t^{\prime} = \sqrt{1-\frac{||v||^2}{c^2}} \cdot \Delta t \)

Wenn wir nun ein Objekt betrachten, dass sich nicht auf einer Geraden als Weltlinie bewegt, wäre ein mitbewegtes Bezugssystem kein Inertialsystem mehr. Die dort vergangene Zeitspanne von t_a bis t_e, also die Eigenzeit, ergibt sich dann aufintegriert als:

\( \tau = \displaystyle\int\limits_{t_a}^{t_e} \sqrt{1-\frac{||v(t)||^2}{c^2}} \, dt \)

Diese Eigenzeit τ würde dann von allen Intertialsystemen aus gesehen gleich sein d.h. Lorenz-invariant.

Euklidische Vektoren

Im klassischen Eukidischen Raum (soll heissen ohne die SRT) haben wir es generell mit 3er-Vektoren zu tun:

Ortsvektor: \( \vec{r} = x \cdot \vec{e_x} + y \cdot \vec{e_y} + z \cdot \vec{e_z} \)

Geschwindigkeit: \( \vec{u} = \frac{d \vec{r}}{d t} \)

Impuls: \( \vec{p} = m \cdot \vec{u} \)

Beschleunigung: \( \vec{a} = \frac{d^2 \vec{r}}{d t^2} = \frac{d \vec{u}}{d t} \)

Kraft: \( \vec{f} = \frac{d \vec{p}}{d t} = m \cdot \vec{a} \)

Minkowski-Vektoren

Wenn wir das Obige nun nach SRT und in beliebigen Inertialsystemen betrachten wollen, haben wir gleich ein Problem mit den Ableitungen nach der Zeit. In jedem Inertialsystem verläuft die Zeit (auch Koordinatenzeit genannt) anders; d.h. die o.g. Größen sind nicht mehr Lorenz-invariant.

Lorenz-invariant sind zunächst:

Die Lichtgeschwindigkeit: c
Der Minkowski-Abstand zweier Ereignisse: \( S = c \cdot (t_2 – t_1) – (x_2 – x_1)^2 – (y_2 – y_1)^2 – (z_2 -z_1)^2 \)

Einerseits ist die Zeit eine Koordinate in der vierdimensionalen Raumzeit, andererseits können wir zeitliche Abstände zwischen zwei Ereignissen messen.

Anstelle der Zeit (Koordinatenzeit), die in allen Inertialsystem verschieden sein kann, definieren wir eine sog. Eigenzeit τ, die invariant sein soll. Danach können die das differenzieren und kämen zu invarianten Größen….

Bei den Minkowski-Vektióren (Vierervektoren) gehen wir aus vom Ortsvektor, der die Bewegung eines Massepunkts m in seiner Eigenzeit beschreibt (Weltlinie):

\( \vec{S} = ct \cdot \vec{e_t} + x \cdot \vec{e_x} + y \cdot \vec{e_y} + z \cdot \vec{e_z} \\ \)

Durch Differenzieren nach der Eigenzeit kommen wir dann zu:

Vierer-Geschwindigkeit: \( \vec{U} = \Large \frac{d\vec{S}}{d\tau} \)

Vierer-Impuls: \( \vec{P} = m \cdot \vec{U} \)

Vierer-Beschleunigung: \( \vec{A} = \Large \frac{d^2\vec{S}}{d\tau^2} = \frac{d\vec{U}}{d\tau} \)

Vierer-Kraft: \( \vec{F} = \Large \frac{d\vec{P}}{d\tau} = m \cdot \vec{A} \)

Wie differenziere ich nun nach der Eigenzeit?

Vierer-Geschwindigkeit:

\( \Large \vec{U} =\frac{d\vec{S}}{d\tau} = \frac{d}{d\tau}( ct \cdot \vec{e}_t + x \cdot \vec{e}_x + y \cdot \vec{e}_y + z \cdot \vec{e}_z ) \)

In einem Inertialsystem sind die Basisvektoren konstant; d.h. die Ableitungen auch nach τ sind Null. Damit vereinfacht sich die Produktregel und wir erhalten:

\( \Large \vec{U} = \frac{d\vec{S}}{d\tau} = c \frac{dt}{d\tau} \vec{e}_t + \frac{dx}{d\tau} \vec{e}_x + \frac{dy}{d\tau} \vec{e}_y + \frac{dz}{d\tau} \vec{e}_z \)

Penrose-Diagramme

So ein Raum-Zeit-Diagramm nach Minkowski benutzt ja eine unendliche Ebene zur Darstellung. Durch eine geeignete Koordinatentransformation können wir so eine unendliche Ebene auf eine endliche Figur abbilden…

Roger Penrose (*1931)

Tangens

Mathematik: Was sind Tensoren?

30. August 20206. December 2025 dkracht

Gehört zu: Mathematik
Siehe auch: Quantenmechanik, Vektorräume, Lineare Algebra, Koordinatensysteme, Metrik-Tensor, Kontravariante Ableitung
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Stand: 26.10.2021

Was sind Tensoren?

Eine der Voraussetzungen zum Verständnis vieler Dinge (z.B. in der Allgemeinen Relativitätstheorie und der Quantenmechanik) sind sog. Tensoren.

Der Begriff “Tensor” wurde im 19. Jahrhundert relativ unsystematisch bei verschiedenen physikalischen Berechnungen eingeführt.

Darüber gibt es schöne Youtube-Videos von “eigenchris”: https://youtu.be/sdCmW5N1LW4

Als Vorbereitung dazu habe ich zuerst mal etwas zu Vektorräumen zusammengestellt.

Auffrischung

YouTube-Link: Dr. Simulate: What’s the Difference between Matrices and Tensors?

Allgemein kann man sagen dass Tensoren

einerseits eine Verallgemeinerung der Begriffe: Skalar, Vektor (1 dimensionales Koordinatenschema), Matix (2 dimensionales Koordinatenschema) auf mehr als 2 Dimensionen sind;
andererseits soll ein Tensor unabhängig von der Repräsentation durch Koordinaten in einem Koordinatensystem sein.

Die Darstellung so eines Gebildes ist bei mehr als zwei Dimensionen schwierig. Ganz allgemein verwendet man deshalb eine Index-Notation z.B. T_ijk für einen Tensor vom Rang 3.

Wir hatten ja im Artikel über Vektorräume schon gesehen, dass Vektoren Objekte sind, die unabhängig von Koordinatensystemen exsistieren und auch gegenüber einem Wechsel von Koordinatensystemen “invariant” sind. Nur die Komponenten bzw. Koordinaten der Vektoren verändern sich dann, nicht aber die Vektoren selber.

Invarianz bedeutet allgemein gesagt, dass ein und dasselbe Objekt verschieden beschrieben (“repräsentiert”) werden kann von verschiedenen Standpunkten (Koordinatensystemen) aus.

Unsere Vektorkomponenten beruhen immer auf einer Menge von sog. Basisvektoren.

Wie verhalten sich dann Vektoren und ihre Komponenten bei einem Wechsel der Basisvektoren?

Im Gegensatz zum invarianten Vektor selbst, verändern sich seine Komponenten bei Änderung der Vektorbasis.

Wir sahen, dass wenn sich die Längen der Basisvektoren verlängern, sich die Komponenten von Vektoren verkleinern. Deshalb hatten wir diese Vektoren “kontravariant” genannt.

So ein kontravarianter Vektor ist ein erstes Beispiel für einen Tensor. Ein zweites Beispiel für einen Tensor sind die sog. Co-Vektoren…

Allgemein gesagt bedeutet Kontravarianz, dass wenn ein Ding größer wird, ein anderes Ding kleiner wird. Kovarianz dagegen bedeutet, dass die Veränderungen in die gleiche Richtung gehen.

Co-Vektoren

Im Gegensatz zu den “herkömmlichen” kontravarianten Vektoren, die wir als Spalte schreiben, schreiben wir Co-Vektoren als Zeilen.

Dazu hat “eigenchris” ein schönes Youtube-Video gemacht: https://youtu.be/LNoQ_Q5JQMY

In der Sichtweise von Koordinaten macht ein Co-Vektor also folgendes:

\( \Large \left[ \begin{matrix} a & b & c \end{matrix} \right] \cdot \left[ \begin{array}{r} x \\\ y \\\ z \end{array} \right] = ax+by+cz \)

Abstrakt formuliert bildet ein Co-Vektor also Vektoren auf Skalare ab.

Rank 2 Tensoren

Generell soll ein Tensor ja invariant bei einer Koordinatentransformation sein.

Lediglich die “Darstellung” eines Tensors erfolgt mit Komponenten (Koordinaten).

Uns interessieren hier in erster Linie sog. Rank 2 Tensoren. Solche Rank 2 Tensoren können immer als “normale” Matrix mit Zeilen und Spalten dargestellt werden (Zeilen und Spalten -> Rank 2). So ein Rank 2 Tensor kann aber auch ganz einfach in sog. Index-Schreibweise dargestellt werden z.B. T_ij oder g_μν(Anzahl Indices = Rank).

Transformationsverhalten

xyz

Astronomie: Die Keplerschen Gesetze

25. August 20204. June 2026 dkracht

Gehört zu: Astronomie, Sonnensystem
Siehe auch: Himmelsmechanik, Entfernungsbestimmung, Newtonsche Mechanik, Lichtgeschwindigkeit
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Stand: 24.01.2026

Warnung / Disclaimer

Diesen Blog-Artikel schreibe ich ausschließlich zu meiner persönlichen Dokumentation; quasi als mein elektronisches persönliches Notizbuch. Wenn es Andere nützlich finden, freue ich mich, übernehme aber keinerlei Garantie für die Richtigkeit bzw. die Fehlerfreiheit meiner Notizen. Insbesondere weise ich darauf hin, dass jeder, der diese meine Notizen nutzt, das auf eigene Gefahr tut. Wenn ich Produkteigenschaften beschreibe, sind dies ausschließlich meine persönlichen Erfahrungen als Laie mit dem einen Gerät, welches ich bekommen habe.

Die Zeit von Johannes Kepler

Johannes Kepler (1571-1630) lebte in bewegten Zeiten:

30 jähriger Krieg (1618-1648)
Kleine Eiszeit (etwa 1570 bis 1630)
Hexenverbrennungen (1550 und 1650)
Gallileo Galilei (1564-1642)
Nikolaus Kopernikus (1473-1543)
…

Abbildung 1: Flammarion Holzschnitt (Wikimedia: FlammarionWoodcut.jpg)

Flammarion Holzschnitt (Wikipedia)

Die Keplerschen Gesetze

Die bahnbrechende Erkenntnis von Kepler war, die Kreisbahnen des heliozentrischen Weltbildes von Nikolaus Kopernikus (1473-1543) durch Ellipsen zu ersetzen. Johannes Kepler konnte dies durch Analyse der Beobachtungsdaten von Tycho Brahe (1546-1601) herleiten; besonders die relativ starke Exzentrizität (0,0934) der Bahn des Planeten Mars brachte Kepler dazu, Ellipsenbahnen anzunehmen. Einen genauen naturwissenschaftlichen Grund dafür konnte Kepler noch nicht angeben.

Kepler ging nicht von gesetzten Voraussetzungen aus (z.B. die Bahnen müssen aus Kreisen bestehen), sondern nur von dem, was beobachtet werden konnte; in diesem Fall von Tycho Brahes genauen Beobachtungsdaten. Kepler konnte daraus die Form der Marsbahn nach jahrelangen Versuchen als Ellipse finden. Voraussetzung dafür war zunächst die genaue Kenntnis der Bahn der Erde um die Sonne, da Tycho ja die Marspositionen relativ zur Erde gemessen hatte. Keplers mathematisches Handwerkszeug war damals fast ausschießlich die Geometrie; deshalb findet man in seiner Veröffentlichung “Astronomia Nova” von 1609 sehr viele geometrische Zeichnungen mit umfangreichen verbalen Erläuterungen.

Tycho Brahe hatte in einem Zeitraum von 20 Jahren sehr genaue Messungen (besser als 1 Bogenminute) der Positionen der Planeten und von ca. 800 Fixsternen gemacht.

Die Fernsehsendung “Johannes Kepler, der Himmelsstürmer” im Sender arte am 08.08.2020 beleuchtete das geniale Werk von Johannes Kepler.

Abbildung 2: Tycho Brahes Mauerquadrant (Wikipedia)

1. Keplersches Gesetz (1609 Astronomia Nova)

Die Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht

2. Keplersches Gesetz (1609 Astronomia Nova)

Der Fahrstrahl Sonne-Planet überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.

3. Keplersches Gesetz (1618 Harmonici Mundi)

Die Kuben der großen Halbachsen verhalten sich die die Quadrate der Umlaufzeiten.

Das erste Keplersche Gesetz

Eine Ellipse ist ein Kegelschnitt, der im Grenzfall (Exzentrizität = Null) ein Kreis wird.

Nach Newton haben wir eine Zentralkraft, die proportional zu \( \frac{1}{r^2} \) abnimmt.

Mit ein “bisschen Mathematik” ergeben sich daraus geschlossene Ellipsen als Bahnform.

In cartesischen Koordinaten ist eine Ellipse mit den Halbachsen a und b gegeben durch:

\( \Large \left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2= 1 \\\)

Die Exzentrizität einer Ellipse ist ein Maß für die Abweichung von der Kreisform und wird definiert durch:

\( \Large e = \frac{r_{max} – r_{min}}{r_{max} + r_{min}} \) (Wobei mit r_min und r_max immer die Entfernungen Sonne-Planet gemeint sind)

Zur Zeit beträgt die Exzentrizität der Erdbahn e = 0,0167 und schwankt mit dem Milankowitsch-Zyklus in T=100.000 Jahren minimal. Die Solarkonstante ändert sich mit vergleichsweise geringem Effekt (~2,4 W/m²). Quelle: https://wiki.bildungsserver.de/klimawandel/index.php/Erdbahnparameter

In Polarkoordinaten kann man die Bahn beschreiben als:

\(\Large r = \frac{a (1 – \epsilon^2)}{1 + \epsilon \cos{\phi}} \\ \)

Das zweite Keplersche Gesetz

Das zweite Keplersche Gesetz folgt allein aus der Tatsache, dass die wirkende Kraft immer genau in Richtung auf die Sonne gerichtet ist (sog. “Zentralkraft”). Damit muss nämlich der Drehimplus des Systems Sonne-Planet konstant bleiben.

Der Drehimplus des Systems Sonne-Planet ist bekanntlich:

\( L = m \cdot r \cdot v = m \cdot r^2 \cdot \omega \)

Für die “überstrichene Fläche” A(t) gilt infinitesimal:

\( dA = \frac{1}{2} \cdot r(t) \cdot v(t) \cdot dt \)

Womit die “Flächengeschwindigkeit” eben konstant bleibt:

\( \frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} \cdot r(t) \cdot v(t) = \frac{L}{2 m} = const. \)

Quelle: https://www.forphys.de/Website/mech/kepler2.html

Als Beispiel habe ich mal die Bahn der Erde um die Sonne schematisch dargestellt. Das Produkt Bahngeschwindigkeit (v) mal Entfernung Erde-Sonne (r) ist proportional zum Drehmoment.

Abbildung 3: Schematische Darstellung der Bahn der Erde um die Sonne (pCloud: Ellipse.svg)

Schematische Darstellung der Bahn der Erde um die Sonne

Die Abweichung von der Kreisbahn ist beim Planeten Merkur noch größer. Die Exzentrizität der Merkur-Bahn beträgt 0,206.

Abbildung 4: Schematische Darstellung der Merkur-Bahn (pCloud: Ellipse_Merkur.svg)

Die stark elliptische Merkurbahn

Wegen der hohen Bahngeschwindigkeit des Merkur sind auch relativistische Effekte zu beobachten…

Bei einer Ruhemasse von m₀ ergibt sich die relativistische Masse ja zu:

\( m_{rel} = \Large\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \)

wodurch sich leichte Unterschiede in der Masse des Merkur über seine Umlaufbahn hinweg ergeben (“Störungen”), was zu leicht unterschiedlichen Anziehungskräften führt, was schließlich die reine Kepler-Ellipse seiner Bahn beeinträchtigt.

Das dritte Keplersche Gesetz

Das “Dritte Keplersche Gesetz” bezieht sich nicht auf die Umlaufbahn eines Planeten, sondern setzt die Umlaufbahnen zweier Planeten zueinander in Beziehung, die sich um den gleichen Zentralkörper in Ellipsen bewegen (eventuelle Störungen durch weitere Körper vernachlässigen wir dabei).
Hier geht Kepler also schon (impliziet) von einem heliozentrischen Weltbild aus (Kopernikus).

Die Quadrate der Umlaufszeiten verhalten sich wie die Kuben der mitteren Entfernung. Als Formel also:

\( \Large \frac{a^3_1}{T^2_1} = \frac{a^3_2}{T^2_2} \\\)

Wenn man die Werte für die Planeten unseres Sonnensystems in doppelt logarithmischen Koordinaten aufträgt, bekommt man eine gerade Linie.

Abbildung 5: Keplers Drittes Gesetz Unser Sonnensystem (pCloud: 20240604 Kepler Drittes Gesetz.svg)

Keplers Drittes Gesetz

Wenn wir als Beispiel einmal die Bahnen von Erde und Jupiter vergleichen, so bekommen wir:

Erde: T₁ = 1 Jahr, a₁ = 1 AE
Jupiter: T₂ = 11,86 Jahre, a₂ = 5,2 AE

rechnerisch also:

\( \Large \frac{a^3}{T^2} = \frac{5.2^3}{11.86^2} = \frac{140.608}{140.6596} \\ \)

Durch Messung der (siderischen) Umlaufszeit eines Planeten könnten wir so also die Gr0ße Halbachse seiner Bahn bestimmen.

Das Dritte Keplersche Gesetz sagt damit etwas aus über den Zentralkörper: die Sonne. Wenn wir ein wenig vorgreifen, ist es die Masse des Zentralkörpers (M), die wir aus der Bahn eines umlaufenden Himmelskörpers bestimmen können; nach der Formel:

\( \frac{a^3}{T^2} = \frac{G \cdot M}{4 \pi^2}\\ \)

Schritt für Schritt kommen wir zu diesem Ergebnis:

\( \frac{a^3}{T^2} = const. \)

Wobei T die (siderische) Umlaufszeit eines Planeten um die Sonne ist und a die große Halbachse seiner Bahn um die Sonne.

Gehört zu: Astronomie, Sonnensystem
Siehe auch: Himmelsmechanik, Entfernungsbestimmung, Newtonsche Mechanik, Lichtgeschwindigkeit
Benutzt WordPress-Plugin MathJax-Latex, SVG-Grafiken aus pCloud

Stand: 03.06.2026

Methoden zur Massenbestimmung

Warnung / Disclaimer

Die Masse eines Himmelsobjekts (z.B. Planet, Stern, Galaxie,…) kann man anhand der Wirkung dieser Masse bestimmen. Solche Wirkungen sind:

Gravitative Wirkung auf die Bewegung (Kinematik) eines anderen Himmelskörpers (Kepler-Bahnen)
Viralsatz (Energien)
Lichtablenkung als sog. Gravitationslinse (Allgemeine Relativitätstheorie)

Massenbestimmung über Kepler-Bahnen

Bei einer Kreisbahn eines Planeten um die Sonne muss die Gravitationskraft (Anziehungskraft) immer genau der Zentripedalkraft der Planetenbahn entsprechen. Also:

\( F = G \frac{m \cdot M}{r^2} = m \cdot \frac{v^2}{a} \)

Die Masse des Planeten m kürzt sich heraus:

\( G \frac{M}{r^2} = \frac{v^2}{a} \)

Die Bahngeschwindigkeit v erhalten wir als:

\( v = \frac{2 \pi a}{T} \)

Wenn wir das oben einsetzen ergibt sich:

\( G \frac{M}{a^2} = \frac{4 \pi^2 a^2}{a \cdot T^2} \)

oder umgestellt:

\( \frac{G \cdot M}{4 \pi^2} = \frac{a^3}{T^2} = const. \)

Quelle: https://www.schule-bw.de/faecher-und-schularten/mathematisch-naturwissenschaftliche-faecher/physik/unterrichtsmaterialien/mechanik_2/kepler/keplergravi.htm

Umlaufszeiten und Große Halbachse kann man meistens leicht messen. Zur Bestimmung der Masse des Zentralkörpers fehlt also noch die Größe der Gravitationskonstanten G. Deshalb sagte man zu den Experimenten, die Gravitationskonstante zu bestimmen: “Wir wiegen die Erde”.

\( M = \frac{4\pi^2}{G} \frac{a^3}{T^2} \)

Bestimmung der Erdmasse

Anhand der Bahndaten des Mondes bestimmen wir die Masse der Erde mithilfe des Dritten Keplerschen Gesetzes.

Bahndaten Mond

Umlaufzeit (siderischer Monat) 27,32166 Tage = 2 360 591,424 s
Große Halbachse 383 397,7916 km = 383 397 791,6 m (zur Messung benötigt man die Entfernung des Mondes)

Nach dem 3. Keplerschen Gesetz finden wir:

\( \Large M = \frac{4 \pi^2}{G} \cdot \frac{a^3}{T^2} = \frac{4 \pi^2}{6.77} \cdot \frac{383397 791.6^3}{2360591.424^2} = 5.9822 \cdot 10^{24} kg\)

Bestimmung der Sonnenmasse

Anhand der Bahndaten der Erde bestimmen wir die Masse der Sonne mithilfe des Dritten Keplerschen Gesetzes.

Bahndaten Erde

Umlaufzeit (siderisches Jahr) 365,256 363 2 Tage = 31 558 149,78048 s
Große Halbachse 149 598 022,96 km = 149 598 022 960 m (zur Messung benötigt man die Entfernung der Sonne)

Nach dem 3. Keplerschen Gesetz finden wir:

\( \Large M = \frac{4 \pi^2}{G} \cdot \frac{a^3}{T^2} = \frac{4 \pi^2}{6.77} \cdot \frac{149598022960^3}{31558149.8^2} = 1.98842 \cdot 10^{30} kg\)

Bestimmung der Jupitermasse

Anhand der Bahndaten des Jupitermondes Kallisto bestimmen wir die Masse des Jupiters mithilfe des Dritten Keplerschen Gesetzes.

Bahndaten Kallisto

Umlaufzeit 16,689 Tage = 1.441.929,60 s
Große Halbachse 1882700 km =1.882.700.000 m (zur Messung benötigt man die Entfernung des Jupiters)

Nach dem 3. Kaplerschen Gesetz finden wir:

\( \Large M = \frac{4 \pi^2}{G} \cdot \frac{a^3}{T^2} = \frac{4 \pi^2}{6.77} \cdot \frac{1882700000^3}{1441929.6^2} = 1.90 \cdot 10^{27} kg\)

Der Kuiper-Gürtel

Der Kuiper-Gürtel in unserem Sonnensystem soll sich in Entfernungen von 30 bis 50 AU befinden.

Nach dem 3. Keplerschen Gesetz ergiebt das Umlaufzeiten von 165 bis 350 Jahren, wenn wir annehmen, dass die Masse innerhalb von 30 AU im wesentlichen die gleiche ist, wie bei den Planetenbahnen – also einfach die Sonnenmasse.

Die meisten der kurzperiodische Kometen (Umaufszeit kleiner 200 Jahre) stammen wohl aus dem Kuiper-Gürtel während langperiodische Kometen von weiter draussen kommen, was man die Oortsche Wolke nennt.

Schwarzes Loch im Zentrum unserer Galaxis

Um das Schwarze Loch im Zentrum unserer Galaxis (Sgr A*) kreisen einige Sterne, deren Bahnen man bestimmen konnte.

Bahndaten des Sterns S2

Umlaufzeit: 16,018 Jahre = 5850,5745 Tage = 505489637 s
Große Halbachse: ca. 950 AE = 1,4 10¹¹ km = 1,4 10¹⁴ m

Mit diesen Bahndaten von S2 finden wir nach dem 3. Keplerschen Gesetz:

\( \Large M = \frac{4 \pi^2}{G} \cdot \frac{a^3}{T^2} = \frac{4 \pi^2}{6.77} \cdot \frac{1,4 10 14^3}{505489637^2} = 6.352 \cdot 10^{36} kg\)

Diese Masse entspricht 3,19 Mio Sonnenmassen. Heutzutage (2026) gehen die Wissenschaftler von 4,1 Mio Sonnenmassen aus.

Masse unserer Galaxis

Das dritte Keplersche Gesetz gilt nicht nur für eine Punktmasse im Zentrum. Die Zentralmasse ist einfach die im Bahnradius eingeschlossene Masse – auch wenn sie räumlich verteilt ist. Der Radius ist dabei der Abstand vom Schwerpunkt der eingeschlossenen Masse.

Unser Sonnensystem umkreist das Zentrum (Schwerpunkt) der Galaxie in einer annäherungsweisen Kreisbahn.

Bahndaten Sonnensystem

Umlaufzeit: ca. 230 Mio Jahre = 84 007,5 Mio Tage = 7 258 248 000 Mio s = 7,258248 10¹⁵ s
Radius: ca. 26000 LJ = 245 960 Billionen km = 2,46 10¹⁷ km = 2,46 10²⁰ m

Mit diesen Bahndaten des Sonnensystems finden wir nach dem 3. Keplerschen Gesetz als umschlossene Masse:

\( \Large M = \frac{4 \pi^2}{G} \cdot \frac{a^3}{T^2} = \frac{4 \pi^2}{6.77} \cdot \frac{2,46^3 \cdot 10^{60}}{7.258248^2 \cdot 10^{30}} = 1.69 \cdot 10^{41} kg\)

Diese Masse entspricht 8,5 10¹⁰ Sonnenmassen. Das wäre die Masse (also leuchtende und dunkle Materie) im umschlossenen Raum.

Wenn man die Gesamtmasse ermitteln wollte, müsste man die Geschwindigkeit von Materie am äußersten Rand der Milchstrasse messen. Das macht man heutzutage (2026) durch Messung der 21cm-Linie von Wasserstoff-Wolken. Damit kommen die Wissenschaftler auf ca. 1,5 Billionen Sonnenmassen (1,5 10¹²)

Massenbstimmung über den Viralsatz

Fritz Zwicky (1898-1974) hat 1933 versucht, die Masse des Coma Galaxienhaufens mit Hilfe des Viralsatzes zu bestimmen.

Originalarbeit: https://articles.adsabs.harvard.edu/pdf/1933AcHPh…6..110Z

In dem Coma Cluster bewegen sich ca. 800 Galaxien durch ihrer Gravitation gebunden auf ungeordneten Bahnen (d.h. keine Vorzugsrichtung). Wir können weiterhin annehmen, dass der Haufen genug Zeit hatte, eine sog. “Entspannung” zu erreichen; also alles ist “eingeschwungen” und im Prinzip ändert sich nichts mehr an der Kinematik – der Haufen hat sich also nicht aufgelöst. In so einem Fall gilt der sog. Viralsatz:

\( E_{kin} = – \frac{1}{2} E_{pot} \)

Die kinetische Energie kommt dabei aus den Bewegung der Galaxien und die potentielle Energie beruht auf dem Gravitationsfeld des Haufens, letztlich also auf seiner Masse.

Zwicky hat in dem Haufen die mittleren Rotverschiebungen der Galaxien gemessen. Zwar sind das zunächst “nur” die Radialgeschwindigkeiten. Da die Galaxien ohne Vorzugsrichtungen “wild” durcheinander fliegen, sind auch die Geschwindigkeitskomponenten in den tangentialen Richtungen im Mittel gleich groß.

Damit kommt Zwicky auf eine mittlere Rotverschiebung von 1000 km/s.

Die mittlere Masse einer typischen Galaxies kannte Zwicky auch (10⁹ Sonnenmassen); sodass über die Anzahl von Galaxien im Haufen sich die E_kin des Haufens ergab.

Der Viralsatz sagt dann wie groß die E_pot des Haufens ist; woraus sich die Gesamtmasse M_cluster ergibt.

Zwicky hat dann versucht, die Masse des Haufens unabhängig abzuschätzen (Zählung der Galaxien und Abschätzung der Masse aus der Leuchtkraft). Dabei kam er auf ein viel kleinere Masse (1/400) als M_cluster. Die Masse hätte nicht ausgereicht, den Haufen zusammenzuhalten. Also schloss Zwicky, dass es da zusätzliche Materie geben muss, die zwar gravitativ wirkt, aber unsichtbar ist. Zwicky nannte dies “Dunkle Materie”. Zu seiner Zeit (1933) wurde diese seine These von der allgemeinen Wissenschaft nicht anerkannt. Erst in den 1960 Jahren (Vera Rubin) setzte sich die Idee der “Dunklen Materie” in der Wissenschaft durch.

Später stellte es sich durch Radioastronomie heraus, dass ein Teil der “fehlenden” Materie im Coma-Haufen durch größere Mengen Gas, das im Röntgenbereich leuchtet, erklärt werden konnte. Dadurch milderte sich der Faktor 1/400 zwar etwas ab, aber verschwand keineswegs. Heutige Zahlen schätzen die Massenanteile wie folgt: 2% klassische Materie, 13% Gas, 85% Dunkle Materie.

Massenbestimmung über Gravitationslinsen

Gemäß der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) wird Licht durch Gravitation (z.B. einer großen Masse) abgelenkt. Gemäß den Formeln der ART ergibt sich der Ablenkwinkel einer Punktmasse (bzw. einer sphärisch symmetrischen) zu:

\( \alpha(b) = \frac{4 G M}{b \cdot c^2} \) (im Bogenmaß)

Mit: G = Gravitationskonstante, M = Masse des ablenkenden Objekts, c = Lichtgeschwindigkeit, b = kürzester Abstand des Lichtstrahls vom Mittelpunkt der Masse.

Quelle: https://www.spektrum.de/sixcms/media.php/1308/WIS-2022-04-OS-Einstein.pdf

Wenn man die Größe der Ablenkung misst, kann man daraus Rückschlüsse auf die beteiligte Masse ziehen.

Beispiel: Lichtablenkung am Sonnenrand

Für paralleles Licht (z.B. von einem weit entfernten Stern) am Sonnenrand (minimales b=R, maximale Lichtablenkung) würde gelten:

\( \alpha = \frac{4 \cdot G \cdot M}{R \cdot c^2} rad \)

Setzt man hier die bekannten Werte für G, M, R und c ein, bekommt man als Ablenkung 1.75 arcsec. Was Arthur Eddington und Frank Dyson bei der Sonnenfinsternis am 19.5.1919 auch gemessen haben sollen.

Wenn das weitentfernte Objekt (Quelle) exakt in der Sehachse (Sehstrahl) Beobachter-Gravitationslinse steht, kann ein sog. Einsteinring entstehen, wenn die bestimmte Abstände zwischen Quelle und Linse (D₁) sowie zwischen Linse und Beobachter (D₂) vorhanden sind.

Wenn das Linsenobjekt undurchsichtig ist und genau auf dem Sehstrahl steht, wird das Quell-Objekt dadurch verdeckt und es ist nur der Ring zusehen und kein helles Objekt in der Mitte.

Im asymetrischen Fall, wenn Linse und Source nicht ganz genau auf dem Sehstrahl stehen, wird der Einsteinring entsprechend verzerrt. Meist hat man dann zwei Bilder: einen kleinen Kreisbogen nahe am Mittelpunkt und einen größeren Kreisbogen gegenüber in weiterer Entfernung. Diese beiden Kreisbögen können bei schwächeren Objekten dann zu kleinen sternähnlichen Lichtflecken degenerieren. Dass die beiden Lichtflecken nur Bilder ein und derselben Lichtquelle sind, kann man z.B. durch Untersuchung der Spektren feststellen. Diese Effekte kann man sich sehr schön mit einer Web-Applikation von Thomas Müller verdeutlichen: https://astro-apps.org/GravLens/index.html

Erste Arbeiten zum Thema Gravitationslinsen sind von Sjur Refsdal (1935-2009) bekannt, der lange an der Bergedorfer Sternwarte gearbeitet hat. Dort wurden auch Weingläser zur Demonstration der Lichtablenkung durch Gravitationslinsen benutzt.

Abbildung 6: Geometrie einer Gravitationslinse (pCloud: 20260529 Gravitational Lens Dietrich Kracht.svg)

Aus der Zeichnung erkennen wir:

\( \Large \tan{\theta_1} = \frac{\Large b}{D_1} \text{ und } \tan{\theta_2} = \frac{\Large b}{D_2}\\ \)

Der gesammte Ablenkwinkel durch die Masse M ist:

\( \Large \alpha = \theta_1 + \theta_2 = \frac{4 \cdot G \cdot M}{b\cdot c^2} \)

Bei kleinen Winkeln setzten wir

\( \Large \tan{\theta_i} = \theta_i \\\)

und erhalten so:

\( \Large \frac{b}{D_1} + \frac{b}{D_2} = \frac{4 \cdot G \cdot M}{b\cdot c^2} \\\)

===== Hier sieht man woher das Licht kommt (θ₁), was der Beobachter im Winkelabstand θ₂ sieht. Wir brauchen dann doch soetwas wie eine Linsengleichung ======

Da das Ganze rotationssymmetrisch um die Sehachse ist, sieht der Beobachter einen Ring, den sog. Einsteinring.

\(b = \sqrt{\frac{4GM}{c^2}\frac{D_1 \cdot D_2}{D_1 + D_2}}\) wird der Einsteinradius genannt.

\(\theta_2 \) wird der Einsteinwinkel genannt

Link: https://en.wikipedia.org/wiki/Einstein_radius

Link: https://anthrowiki.at/Einsteinring

Wenn wir die Entfernungen der Objekte kennen (D₁ und D₂ z.B. durch Rotverschiebung) dann ergibt sich aus einer Messung des Einsteinwinkels θ₂ die Masse der Gravitationslinse M.

Beispiel für eine Gravitationslinse

Ein sehr bekanntes Objekt dieser Art ist LRG 3-757.

Abbildung 7: Einsteinring LRG 3-757 (Wikipedia)

Messungen:

In den Spektren misst man Rotverschiebungen von: Source: z_S = 2.379, Lens: z_L = 0.444
astrometrisch messen wir einen Einsteinwinkel (Radius) von 5 arcsec.

Mit einem bestimmten Kosmologischen Modell können wir die Rotverschiebungen z in Entfernungen umrechnen.

Wir nehmen als Kosmologische Modell (ΛCDM):

Den Hubble-Parameter \(H_0 = 70 \, km \, s^{-1} Mpc^{-1}\)
Die relative Materie/Energie-Dichte (baryonische und Dunkle Materie) \( \Omega_m = 0.3 \)
Die relative Materie/Energie-Dichte (Vakuum) \( \Omega_\Lambda = 0.7 \)

Siehe V. Belokurov et al: Original-Paper.

Mit diesem Kosmologischen Modell ergeben sich die Entfernungen (comoving distance) aus dem Cosmological Calulator von Ned Wright zu:

D₂ = 1702.2 Mpc und D₁ + D₂ = 5682.2 Mpc, also D₁ = 3980.0 Mpc

Wobei 1 Mpc = 3.08568*10²² m

Als Einsteinwinkel hatten wir ja:

\( \tan \theta_2 = \frac{b}{D_2} \\ \)

Wenn wir jetzt b einsetzen und nach M auflösen erhalten wir für kleine Winkel:

\( M = \frac{\theta_2^2 \cdot c^2 (D_1 + D_2) D_2}{4 G\cdot D_1} \)

So ergibt sich aus diesen Messungen die Masse des linsenden Objekts zu: 2.685 10⁵⁸ kg =1,35 10²⁸ M_Sonne.

Das wäre rechnerisch die Masse einer punktförmigen Linse. Die Linse wird aber als zylindrisch ausgedehnt angenommen, womit die Autoren auf eine Masse von 5,4 10¹² M_Sonne kommen. Oder Rechenfehler? Oder Denkfehler?

Astronomie: Mein Workflow mit N.I.N.A.

6. August 202023. November 2025 dkracht

Gehört zu: Astronomie
Siehe auch: N.I.N.A., APT, Mein Workflow mit APT
Benutzt: SVG-Grafiken von pCloud, Fotos aus pCloud

Stand: 12.05.2023

Link:

Warum N.I.N.A. für meine Astrofotografie?

Nachdem ich auf die neue Astro-Software N.I.N.A. aufmerksam geworden bin, möchte ich mal zum Test nachstellen, ob und wie ich mit N.I.N.A. mindestens das Gleiche machen kann, wie mit APT.

Darüber hinaus hätte N.I.N.A. für mich echte Vorteile:

Modernere, flexibleOberfläche (konfigurierbare Fenster)
Autofokus mit HFR-Messung
Bildausschnitt (“Framing”) mithilfe diverser Sternkarten und direkter Übenahme in den Sequencer (Aufnahmeplan).
Manueller Rotator
Mosaik-Assistent mit diversen Sternkarten
Funktionserweiterungen durch Plugins
Kostenlos und Open Source

Voraussetzungen für meinen Workflow mit N.I.N.A.

Bevor es losgeht, müssen einige Voraussetzungen erfüllt sein:

Ein Windows-Computer ist vor Ort vorhanden, hat Strom und die nötige Software ist installiert
N.I.N.A. ist installiert und konfiguriert (Planetariumsprogramm: Stellarium oder Cartes du Ciel)
Meine Montierung HEQ5 Pro ist aufgebaut und über EQMOD mit dem Computer verbunden
In EQMOD sind Standorte mit den genauen geografischen Koordinaten definiert
Das Teleskop mit Flattener und Kamera ist fokussiert.
Alle Geräte (die Montierung, der USB-Hub, die Kamera,…) sind mit Strom versorgt
Alle Geräte (die Montierung, die Kamera, der Motorfokusser,…) sind mit meinem Windows-Computer über Kabel (USB-Kabel; ggf. USB-Hub) verbunden

Mein N.I.N.A.-Workflow: Schritt für Schritt

Mein vorsichtiger Workflow besteht aus diesen Schritten:

Anfangstellung herstellen
Fokussieren
Platesolving testen
Polar Alignment
Setzen von Alignment-Points
Setzen eines ersten Alignment-Points
1. Ein Zielobjekt anfahren (“Slew”)
2. Foto machen
3. Platesolving
4. SYNC
5. Kontrolle des ersten SYNC-Points
Setzen eines zweiten Alignment-Points (SYNC-Point)
Setzen eines dritten Alignment-Points (SYNC-Point)
Foto-Sequenz erstellen
Optional: Autoguiding anstellen
Foto-Sequenz starten (Aufnehmen Light Frames)
Aufnehmen Flat Frames
Parken in Home-Position

Schritt 1: Anfangsstellung herstellen

Wir wollen den Ausgangspunkt für Gotos (bei N.I.N.A. “Slew” genannt) herstellen.

Montierung aufbauen und in die Waagerechte bringen
Ausbalancieren
Grobe Fokussierung auf terrestrisches Objekt
Montierung (HEQ5 Pro) gut auf die Home-Position ausrichten.
Strom an der Montierung anschalten.
Die Software N.I.N.A. mit der Montierung (über EQMOD) verbinden.
Im EQMOD-Hauptfenster:
- Kontrolle: Anzeige zeigt: Deklination 90,0 Grad und Azimut Null Grad (das ist wichtig für das erste “Goto” bzw. “Slew”, wie es in N.I.N.A. heisst).
- EQMOD Tracking anschalten auf “siderial” (das wäre wichtig für SYNC-Points und Autofokus, da dann HFR besser berechnet werden kann)
- EQMOD-Zusatzfenster öffen durch Klick auf Schaltfläche “Schraubenschlüssel >>>”
Im EQMOD-Zusatzfenster
- Site Information
- Alignment/Sync Point Count=0

Abbildung 2: EQMOD Anfangsstellung (pCloud: NINA-Workflow-01.jpg)

Schritt 2: Warten auf erste Sterne und mit der Software SharpCap fokussieren

Dazu habe ich einen separaten Blog-Artikel geschrieben.

Schritt 3: Platesolving testen

Dazu habe ich einen separaten Blog-Artikel geschrieben.

Schritt 4: Polar Alignment

Dazu habe einen separaten Blog-Artikel geschrieben.

Schritt 5: Setzen von Alignment Points

Ich will zunächst drei Alignment-Points setzen. Die prinzipielle Vorgehensweise ist für jeden Alignment-Point diese:

Koordinaten des geplanten Alignment Points besorgen (z.B. aus Stellarium oder Cartes du Ciel)
Mit N.I.N.A. dann:
1. einen “Slew” (=Goto) auf dieses Target durchführen
2. dann ein schönes Foto machen (Objekt kann ruhig verfehlt sein)
3. dieses Foto plate solven
4. bei erfolgreichem Solve gleich ein Sync machen
In EQMOD kann man kontrollieren, ob der Sync-Point dort angekommen ist

Abbildung 3: N.I.N.A. Workflow für einen SyncPoint (pCloud: NINA_Workflow.svg)

Schritt 6: Setzen eines ersten Alignment Points

In diesem Schritt wollen wir einen Alignment-Point auf ein Objekt nicht so weit von der Home-Position machen. Ich habe mir dazu Alpha Cephei ausgesucht. Dazu müssen wir die Koordinaten von Alpha Cephei als Ziel-Koordinaten in N.I.N.A. übernehmen, einen Slew (=Goto) auf das Zielobjekt machen, davon ein Foto machen, dieses Foto “platesolven” und schliesslich darauf “SYNCen”.

Um mit N.I.N.A. einen “Slew” (=Goto) Zielkoordinaten für ein Objekt zu erhalten, gibt es mehrere Möglichkeiten:

Möglichkeit 1: Im N.I.N.A. “Framing” die Ziel-Koordinaten aus dem Planetariumsprogramm übernehmen (im Abschnitt “Coordinates” auf das “GPS-Symbol” klicken
Möglichkeit 2: Im N.I.N.A. “Framing” die Ziel-Koordinaten vom Teleskop übernehmen
Möglichkeit 3: Im N.I.N.A. auf “Imaging” und dann in der Leiste oben rechts auf das Stern-Symbol klicken, aus dem Drop-down das Zielobjekt auswählen und “Slew”
Möglichkeit 4: …

Wir nehmen mal die erste Möglichkeit:

Das Planetariumsprogramm starten (Cartes du Ciel, Stellarium) und das erste Ziel dort auswählen (hier: Alpha Cephei)
In der Software N.I.N.A. den Reiter “Framing” aufrufen und im Bereich “Coordinates” auf “übernehmen von Planetarium klicken” (21h 18m 35s, +62° 35′ 9″).
N.I.N.A. übernimmt dann die Ziel-Koordinaten vom ausgewählten Zielobjekt aus dem Planetariumsprogramm (und den Rotationswinkel)
N.I.N.A. holt dann ein Bild des Zielobjekts aus dem als “Image Source” ausgewählten SkyAtlas. Die Größe des Bildes richtet sich nach dem “Field Of View”.
Bildschauschnitt evtl. korrigieren (“Framing”)
Schaltfläche “Slew” (N.I.N.A.’s Wort für “Goto”)

Abbildung 4: N.I.N.A. Framing -> Coordinates (pCloud: NINA-Workflow-04.jpg)

Schritt 6.1: Ein Zielobjekt anfahren

N.I.N.A. Framing: Target Coordinates

In diesem Schritt wollen wir auf das Zielobjekt Alpha Cephei schwenken (Slew = Goto).

Dazu scrollen wir im gleichen Fenster (Framing Assistent) herunter bis unter dem Bereich “Targets” die Schaltflächen “Recenter Image”, “Slew” etc. sichtbar werden.
Dann auf die Schaltfläche “Slew” (=Goto) klicken (“Slew” ist ausgegraut, wenn wir die Montierung noch nicht verbunden haben)
Das Zielobjekt wird jetzt nicht hundertprozentig getroffen sein, da der Ausgangspunkt des “Slew” (=Goto) nur die etwas ungenaue Home-Position war. Das macht aber nichts, wir wollen ja hier nur einen ersten Alignment-Point (SYNC) setzten.

Abbildung 5: N.I.N.A. Framing -> Slew (pCloud: NINA-Workflow-05.jpg)

Schritt 6.2: Foto machen

In diesem Schritt wollen wir ein erstes Foto machen.

In N.I.N.A. die Kamera (meine ASI294 MC Pro) verbinden und die Kühlung anstellen.
In N.I.N.A. auf den Reiter “Imaging” gehen und ein Foto machen (dazu Belichtungszeit und Gain so einstellen, das Sterne zu sehen sind).

Achtung: Nur wenn wir den Schiebeschalter “Save” auf “On” stellen, wird das Foto auch auf dem Computer gespeichert.

Abbildung 6: N.I.N.A. Imaging (pCloud: NINA-Workflow-06.jpg)

N.I.N.A. Workflow: Imaging

Schritt 6.3: Plate Solving

In diesem Schritt wollen wir nun die tatsächlichen Koordinaten des Bildmittelpunkts ermitteln: Mit diesem Foto auf “Platesolving” gehen.
Als Ergebnis des Platesolving wurden die Koordinaten des Bildmittelpunkts ermittelt zu: RA 21 28 32 Decl +68 08 34 – was ein ganzes Stück entfernt ist (Error 5°) von dem angepeilten Ziel Alpha Cephei. Das macht aber nichts, das Telekop zeigt eben dorthin und wir haben einen ersten korrekten Alignment Point (weil wir Sync auf “On” gesetzt hatten).

Achtung: Bei N.I.N.A. gibt es die Besonderheit, dass die Funktion “Platesolve” selbständing ersteinmal ein Foto schiesst, Also Belichtungszeit und Gain dafür nochmals eingeben….

Abbildung 7: N.I.N.A Reiter Imaging, Funktion Platesolving (pCloud: NINA-Platesolving-02.jpg)

Schritt 6.4: Sync

In diesem Schritt soll N.I.N.A. ein sog. “Sync” machen. Das macht N.I.N.A. ganz von alleine im Anschluss an das erfolgreiche Platesolving, denn wir hatten ja den Schiebeschalter “Sync” auf “On” gestellt, damit werden die Koordinaten des durch Platesolving gefundenen Bildmittelpunkts als Sync-Point in EQMOD übernommen (im Beispiel: RA 21 28 32 Decl +68 08 34).

Schritt 6.5: Kontrolle des Sync Points

In diesem Schritt wollen wir kontrollieren, ob der Sync Point von N.I.N.A. auch in der Teleskopsteuerung EQMOD angekommen ist.

Abbildung 8: EQMOD Liste der Alignment Points (pCloud: NINA_EQMOD_SyncPoint.jpg)

Schritt 7: Setzen eines zweiten Alignment Points

Koordinaten von Beta Cas aus Cartes du Ciel: 00h 09m 12s, +59° 08′ 55″

Abbildung 9: NINA Framing Assistent: Target Coordinates (pCloud: NINA-Workflow-36.jpg)

Nach Slew und Foto nun das Platesloving. Es ergibt: 00h 22m 08s, 59° 49′ 16′ (Error 1° 46′)

Abbildung 10: N.I.N.A. PLatesolving und SYNC (pCloud: NINA-Workflow-38.jpg)

Abbildung 11: EQMOD Kontrolle der Alignment Points (pCloud: NINA-Workflow-39.jpg)

Schritt 8: Setzen des dritten Alignment Points

Als dritten Alignment Point nehmen wir jetzt das “echte” Zielobjekt NGC281

Nach Slew und Foto nun das Platesloving. Es ergibt: 00h 07m 26s, 59° 07′ 32′ (Error 00° 13′)

Abbildung 12: NINA: After Slew now a new Platesolving (pCloud: NINA-Workflow-42.jpg)

Schritt 9: Die Fotosequenz erstellen

Positionieren auf das Zielobjekt

In diesem Schritt geht es auf das “echte” Zielobjekt NGC281

Da ich von meiner Terrasse aus nur eine sehr begrenzte freie Sicht auf den Himmel habe, plane ich jetzt Beta Cassiopeia und NGC281 als Ziele zu nehmen.

In Stellarium das “echte” Beobachtungsobjekt auswählen (jetzt also: NGC281).
In N.I.N.A. Reiter “Framing” und Coordinates aus Planetariumsprogramm übernehmen.
Dort jetzt den Bildschirmauschnitt schön einstellen (= Frame) und die Schaltfläche “Recenter Image” drücken.
Dann Schaltfläche “Replace as Sequence” klicken. Dadurch öffnet sich der Reiter “Sequence” und wir stellen dort ein, wieviele Aufnahmen wir machen wollen (Total #) und welche Belichtungszeit (Time) das Einzelfoto haben soll. Wir können auch das “Gain” und das “Dithering” einstellen.
Bevor wir die Sequence starten sollten wir Überlegen, ob wir Autoguiding brauchen.

Framing auf NGC281 (Koordinaten 00h 52m 25s, +56° 33′ 53″)

Abbildung 13: NINA Framing an NGC281 (pCloud: NINA-Workflow-44.jpg)

===========================================================

Slew und Platesolving ergibt die Koordinaten 00h 52m 35s, 56° 34′ 19″ (Error 01′ 21″)

Abbildung 14: NINA Workflow: Final Platesolving (pCloud: NINA-Workflow-45.jpg)

Nun gehe ich zurück zum “Framing” und klicke da auf die Schaltfläche “Replace as Sequence”

Abbildung 15: N.I.N.A. Sequence (pCloud: NINA-Workflow-46.jpg)

In der Sequenz trage ich zusätzlich ein

Total # = 20
Time = 60

Entweder hatte ich schon vorher das Teleskop auf meine Zielposition gefahren oder ich schalte jetzt in der Sequenz “Slew to target” ein.

Ggf. kann ich an dieser Stelle auch aufhören und meine soweit eingerichtete Sequenz für späteren Gebrauch abspeichern.

Schritt 10: Optional: Autoguiding aktivieren

Bevor ich die Sequenz starte muss ggf. noch das Autoguiding gestartet werden.

Im nächsten Schritt aktiviere ich mein Autoguiding (optional)

Mit N.I.N.A. habe ich schon auf mein Zielobjekt geschwenkt (die Position wird zum Fotografieren also nicht mehr verändert)
Ich starte dann die Software PHD2 und verbinde die GuideCam und die Montierung
- dort gehe ich auf das “Loop”-Symbol und wenn ein paar Sterne zu sehen sind, lasse PHD2 automatisch einen Leitstern auswählen
- dann auf das “Guide”-Symbol mit Shift-Klick zum Kalibrieren.
- nach erfolgreicher Kalibrierung das Guiding in paar Minuten laufen lassen.
Dann zurück nach N.I.N.A.

Schritt 11: Foto-Sequenz starten (Light Frames aufnehmen)

In diesem Schritt können wir nun endlich die Foto-Sequenz starten

Im N.I.N.A. Reiter “Sequence” sehen wir unsere geplante Foto-Sequenz.
Wir sollten kontrollieren, ob jetzt wirklich bei der Montierung in EQMOD “Tracking Siderial” aktuell ist

Schritt 12: Flat Frames aufnehmen

Dazu habe ich einen separaten Blog-Artikel geschrieben.

Schritt 13: Abschalten

Im letzten Schritt schalten wir wieder ab:

Kamera langsam aufwärmen
Teleskop auf Park-Position
N.I.N.A. abschalten
Computer herunterfahren
Strom abschalten
Teleskop wetterfest bedecken

Computer: Mathematik – Vektorräume – Lineare Algebra

31. July 202028. July 2026 dkracht

Gehört zu: Mathematik
Siehe auch: Grundlagen, Algebren, Matrizenrechnung, Tensor-Algebra, Relativitätstheorie, Metrik-Tensor, Elektrisches Feld, Magnetisches Feld
Benutzt: WordPress-Plugin Latex

Stand: 27.11.2022 (Drehmoment, Archimedes, Skalarprodukt, Vektorbasis)

Youtube-Videos zur Vektor- und Tensorrechnung (für Physiker)

Youtube Videos von Prof. Wagner zur Vektor- und Tensorrechnung

VT I – 01 Affine und Euklidische Vektorräume:https://www.youtube.com/watch?v=NxQTRW-5vpk
VT I – 02 Inhalt und Winkel:https://www.youtube.com/watch?v=1cyrZZnhjjs
VT I – 03 Vektorbasen und Vektorkomponenten:https://www.youtube.com/watch?v=BD-Xb9Wj0I8
VT I – 04 Ko- und Kontravariante Vektorbasen:https://www.youtube.com/watch?v=XBMRx4rXPPg
VT I – 05 Anwendungen des Metriktensors:https://www.youtube.com/watch?v=okkfJEeEqk4
VT I – 06 Transformation zwischen Basen – Beispiele:https://www.youtube.com/watch?v=iieCaxYj2RQ
VT II – 01 Differentialoperatoren:https://www.youtube.com/watch?v=0tjWWS2DGmU&t=127s
VT II – 02 Anschauliche Interpretation der Differentialoperatoren:https://www.youtube.com/watch?v=Cyqahzn-cXw&t=3s
VT II – 03 Anwendungsbeispiele für Differtialoperatoren:https://www.youtube.com/watch?v=DfPGExmGRrs
VT II – 04 Kurven und Hyperflächen:https://www.youtube.com/watch?v=c07r4pARzHw
VT II – 05 Krummlinige Koordinaten:https://www.youtube.com/watch?v=yQlbJN8I6kk
VT II – 06 Krummlinige Koordinaten – Beispiele:https://www.youtube.com/watch?v=s1E_XeIgCpI&t=545s
VT II – 07 Transformationsverhalten, Tensoren:https://www.youtube.com/watch?v=srGlFECRijo&t=928s
VT II – 08 Bogenlänge von Kurven, Metrik:https://www.youtube.com/watch?v=2FCEKDMnKew&t=2075s
VT II – 09 Kovartiante Ableitung, Christoffel Symbole:https://www.youtube.com/watch?v=OnR5Ny47IXw
VT II – 10 Beispiele zur kovarianten Ableitung:https://www.youtube.com/watch?v=jQjsEK7GAVY
VT II – 11 Vektor-Differentaloperatoren in krummlinigen Koordinaten:https://www.youtube.com/watch?v=7PXs4_9RHWo&t=107s
VT II – 12 Eigenschaften der kovarianten Ableitung, Riemannscher Krümmungstensor:https://www.youtube.com/watch?v=I-OAGrUX580&t=429s
VT II – 13 Vom Riemannschen Krümmungstensor zu den Einsteinschen Feldgleichungen:https://www.youtube.com/watch?v=NqiV8SCtHCA&t=203s
VT II – 14 Geodätische Linien, Parallele Vektoren:https://www.youtube.com/watch?v=TfeTfqLa8vI

Vektorfelder und Skalarfelder

Was meint man mit dem Begriff “Feld”?

Das Wort “Feld” wird gerne gebraucht, wenn eigentlich eine ganz normale Abbildung (auch Funktion oder auch Verknüpfung genannt) gemeint ist – “just to confuse the Russians”.

Der Definitionsbereich so einer Abbildung ist ein “Raum”. Das kann ein sog. Euklidischer Raum oder auch eine Riemannsche Mannigfaltigkeit sein. Die Punkte (Orte) in so einem Raum kann man durch Koordinaten beschreiben.
Je nach dem ob der Wertebereich ein Vektorraum oder ein Körper (von Skalaren) ist, spricht man von “Vektorfeld” oder “Skalarfeld” und man schreibt gerne:

für ein skalares Feld: \( \Phi(r) \)
für ein Vektorfeld: \( \vec{V}(r) \)

Wobei r ein Punkt aus dem Definitionsbereich ist (kein Vektor, sondern ein durch Koordinaten beschriebener Punkt)

Beispiele

Temperatur: Wenn wir jedem Punkt im Raume seine Temperatur zuordnen, haben wir ein Skalarfeld.
Höhe: Wenn wir jedem Punkt auf einer Landkarte die Höhe über dem Meeresspiegel zuordnen, haben wir ein Skalarfeld.
Wind: Wenn wir jedem Punkt auf einer Landkarte die Windrichtung und Windstärke zuordnen, haben wir ein Vektorfeld.
Gravitation: Wenn wir jedem Punkt im Raum die Richtung und Stärke der Gravitationskraft zuordnen (wäre mit einem kleinen Probekörper zu bestimmen), haben wir ein Vektorfeld, genannt Gravitationsfeld
Ein elektrisches Feld (ein Vektorfeld) gibt für jeden Punkt im Raum die Richtung und Stärke der elektrischen Kraft an, die auf ein kleines Probeteilchen der elektrischen Ladung +1 wirkt
Ein magnetisches Feld (ein Vektorfeld) gibt für jeden Punkt im Raum die Richtung und Stärke der magnetischen Kraft an, die auf ein kleines Probeteilchen wirkt

Visuelle Veranschaulichung von Feldern

Skalarfelder kann man beispielsweise durch Linien im Definitionsbereich, die alle einen gleichen Skalarwert haben, veranaschaulichen (z.B. Isotermen, Isohypsen etc.)

Vektorfelder veranschaulicht man sich gerne durch sog. “Feldlinien“; diese zeigen dann immer in die Richtung des Werte-Vektors. Beispiel: Feldlinien im Magnetfeld, die in Richtung der magnetischen Kraft zeigen…

Die Physiker sprechen gern von sog. Kraftfeldern. Der Begriff “Feld” hilft, die Vorstellung der Fernwirkung zu vermeiden (sagt Feynman). Die vier konzeptionellen Stufen der Kraftwirkung sind:

Die Kraft bewirkt eine Beschleunigung (Newton)
Ein Feld bewirkt eine Kraft
Kraft durch Raumkrümmung (geometrische Vorstellung) (Einstein)
Kraft durch virtuelle Austauschteilchen

Eigenvektoren und Eigenwerte

Bei Linearen Abbildungen in den gleichen Vektorraum, also:

\( f: V \to V \\\)

sind Eigenvektoren dieser Linearen Abbildung Vektoren, die durch diese Abbildung nicht in ihrer Richtung verändert werden; d.h.:

\( f(\vec{x}) = \lambda \vec{x} \\\)

und den Skalar λ nennt man dann den Eigenwert.

Häufig verwendet man Eigenvektoren und Eigenwerte, wenn die Lineare Abbildung durch eine Matrix beschrieben wird.

In der Quantenphysik spielt dies Konzept eine wichtige Rolle. Dort werden Eigenwerte als Messwerte bei einem Experiment interpretiert.

Das Skalarprodukt von Vektoren

Auf einem Vektorraum kann ein Skalarprodukt definiert sein (Vektor mal Vektor ergibt einen Skalar) – Dies ist inspiriert aus der Physik durch Arbeit = Kraft mal Weg.

Vektorräume müssen aber nicht notwendig ein Skalarprodukt haben.

Wir werden sehen, dass so ein Skalarprodukt dann eine “Norm” induziert und damit eine Metrik, wodurch z.B. Grenzwertprozesse möglich werden.

Einen \(\mathbb{R}\)-Vektorraum mit Skalarprodukt nennt man auch einen Euklidischen Raum, einen \(\mathbb{C}\)-Vektorraum mit Skalarprodukt nennt man auch Hilbertraum – genauer Prähilbertraum.

Das innere Produkt zweier Vektoren v und w (auch Skalarprodukt oder Dot Product genannt) ist schreibt man:

\( \Large \vec{v} \cdot \vec{w} \) \( \Large \langle v,w \rangle \)

Definition des inneren Produkts

Man kann das innere Produkt geometrisch und anschaulich definieren oder aber auch mathematisch über Axiome.

Geometrische Definition

Unabhängig von einem Koordinatensystem – geometrisch definiert als:

\( \Large \vec{v} \cdot \vec{w} = || \vec{v} || \enspace || \vec{w} || \cos(\angle \left( \vec{v}, \vec{w} \right)) \)

Als Schlussfolgerung kann man die Länge eines Vektors auch per innerem Produkt darstellen als:

\( \Large || \vec{v} || = \sqrt{\vec{v} \cdot \vec{v}} \\\ \)

In einem chartesischen Koordinatensystem (s.u.) berechnet sich das innere Produkt (Skalarprodukt) der Vektoren

\( \Large \vec{v} = \left[ \begin{array}{c} v_1 \\\ v_2 \\\ v_3 \end{array} \right] \) und \( \Large \vec{w} = \left[ \begin{array}{c} w_1 \\\ w_2 \\\ w_3 \end{array} \right] \)

als \( \Large \vec{v} \cdot \vec{w} = v_1 w_1 + v_2 w_2 + v_3 w_3 \)

Soweit haben wir das innere Produkt (Skalarprodukt) zweier Vektoren durch Winkel und Länge anschaulich definiert. Wir können auch umgekehrt Länge und Winkel durch das Skalarprodukt definieren:

Länge:

\( \Large || \vec{v} || = \sqrt{\vec{v} \cdot \vec{v}} \\\ \)

Winkel:

\( \Large \cos(\angle \left( \vec{v}, \vec{w} \right)) = \frac{ || \vec{v} || \enspace || \vec{w} ||}{ \vec{v} \cdot \vec{w} } \)

Das funktioniert aber nur, wenn wir schon ein Skalarprodukt haben.

Sprechweise: Tensoren statt Vektoren und Matrizen

Die Tensoren und die Tensorrechnung stammen eigentlich aus der Physik und sind für ganz praktische physikalische Problemlösungen “erfunden” worden. Ein Tensor in diesem Sinne ist einfach ein indiziertes Objekt. Die Indizes laufen normalerweise von 1 bis n, der Dimensionszahl des Raumes in dem wir arbeiten.

Ein Objekt mit einem Index wäre ein Tensor der Stufe 1, ein Objekt mit zwei Indizes ein Tensor 2. Stufe etc. Die “Objekte”, die man indiziert sind meist Reelle oer Komplexe Zahlen – allgemein gesagt Elemente eines Körpers – die man auch Skalare nennt.

Einen Tensor 1. Stufe schreibt man gerne \( a_i \) also mit einem Index – meist unten aber manchmal auch oben \( a^i \) .

Man kann so einem Tensor 1. Stufe auch einen Vektor zuordnen, wobei die indizierten Größen dann die Komponenten eines Vektors zu einer bestimmten Vektorbasis (s.u.) werden. Wenn man so einen Vektor meint, schreibt man das Ganze in Klammern – womit dann alle Komponenten des Tensors gemeint sind:

\( (a_i) \)

Einen Tensor 2. Stufe schreibt man gerne \( {a_i}^j \) also mit zwei Indizes – teilweise unten und teilweise auch oben.

Man kann so einem Tensor 2. Stufe auch eine Matrix zuordnen, wobei die indizierten Größen dann als Zeilen und Spalten in der Matrix abgelegt werden. Wenn man so eine Matrix meint, schreibt man das Ganze in Klammern (da sind dann eben alle Komponenten drin):

\( ({a_i}^j) \\\ \)

Bei mehreren Indizes (also Tensoren der Stufe 2 und höher) ist es wichtig, dass die Reihenfolge der Indizes immer ersichtlich ist. Verwechselungsgefahr besteht ja speziell wenn man Indizes unten und oben hinschreibt.

Wenn ich zwei Tensoren 2. Stufe habe, kann ich die zugehörigen Matrizen ganz einfach multiplizieren indem wir mit der Einsteinschen Summenkonvention über den inneren Index (hier j) summieren:

\( ({a_i}^j)({b_j}^k) = ({a_i}^j \cdot {b_j}^k) \)

=========================================

Eigenschaften von Vektoren

Aus geometrischer und intuitiver Sicht spricht man auch von Längen und Winkeln:

Für die Länge eines Vektors (man sagt auch “Norm”) schreibt man: \( \Large || \vec{v} || \)
Für den Winkel zwischen zwei Vektoren schreibt man: \( \Large \angle \left( \vec{v}, \vec{w} \right) \)

Das äußere Produkt von Vektoren

Das äußere Produkt zweier Vektoren (auch Vektorprodukt oder Kreuzprodukt genannt) ist definiert als ein Vektor:

\( \Large \vec{v} \times \vec{w} = \vec{u} \)

Der Vektor u steht senkrecht auf beiden Vektoren v und w und hat die Länge \( \Large ||\vec{v}|| \cdot ||\vec{w}|| \cdot \sin(\angle \left( \vec{v}, \vec{w} \right)) \)

In einem chartesischen Koordinatensystem (s.u.) berechnet sich das äußere Produkt (Vektorprodukt) der Vektoren

\( \Large \vec{v} = \left[ \begin{array}{c} v_1 \\\ v_2 \\\ v_3 \end{array} \right] \) und \( \Large \vec{w} = \left[ \begin{array}{c} w_1 \\\ w_2 \\\ w_3 \end{array} \right] \)

als \( \Large \vec{v} \times \vec{w} = \left[ \begin{array}{c} v_2 w_3 – v_3 w_2 \\\ v_3 w_1 – v_1 w_3 \\\ v_1 w_2 – v_2 w_1 \end{array} \right] \)

Anwendungen

Eine Anwendung für das Kreuzprodukt ist beispielsweise die Kreisbewegung, wo sich die Bahngeschwindingkeit aus Winkelgeschwindigkeit ω und Radius r wie folgt ergibt:

\( \vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r} \\ \)

Bei der Rotation ergibt sich das sog. Drehmoment \(\vec{M}\) aus dem Kraftvektor \(\vec{F}\) und dem Ortsvektor \( \vec{r} \) vom Bezugspunkt zum Angriffspunkt der Kraft:

\( \vec{M} = \vec{r} \times \vec{F} \)

Hierin steckt auch das aus der Schulzeit bekannte Hebelgesetz (Archimedes von Syrakus 287 v.Chr. – 212 v.Chr.): Kraft mal Kraftarm = Last mal Lastarm

Algebren

Ein Vektorraum V über einem Körper K zusammen mit einer bilinearen Abbildung:

\( V \times V \to V \)

wird eine Algebra genannt.

Die bilineare Abblidung wird “Produkt” genannt und auch so wie ein Produkt hingeschrieben; also: a · b oder einfach ab. In dieser Schweibweise bedeutet die Bilinearität einfach folgendes:

\( (x + y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z \\\ \)

\( x \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z \\\ \)

\( a (x \cdot y) = (ax) \cdot y = x \cdot (ay) \\\ \)

Das “besondere” an Algebren ist die “Multiplikation”. Deswegen unterscheidet man Algebren auch nach den Eigenschaften dieser Multiplikation:

Kommutative – nicht-kommutative Algebren: Ist immer \( a \cdot b = b \cdot a \) oder nicht?

Assoziative – nicht-assoziative Algebren: Ist immer \( a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c \) oder nicht?

Beispiele:

Die n × n Matrizen über einem Körper mit der gewöhnlichen Matrizenmultiplikation als “Multiplikation” bilden eine (assoziative) Algebra.

Hilbertraum und Operatoren

Ein Vektorraum über \(\mathbb{R} \) oder \(\mathbb{C} \) mit einem Skalarprodukt heisst “Prä-Hilbertraum”. Wenn so ein “Prä-Hilberraum” auch noch “vollständig” ist; d.h. jede Cauchy-Folge konvergiert (bezüglich der Metrik) gegen einen Grenzwert, der wiederum in dem Vektorraum liegen muss, dann hat man einen echten Hilbertraum; Nach David Hilbert (1862-1943).

Für Mathematiker steht im Vordergrund die Frage der Konvergenz, während Physiker oft betonen, dass der Grenzwert wieder im gleichen Vektorraum liegen muss. Die Definition der Vollständigkeit benötigt beides.

Abbildungen von einem Hilbertraum in sich selbst heissen auch “Operatoren“.

Beispiel: Differentialoperatoren

Koordinatensystem, Dimension

In einem Vektorraum V kann ich viele Koordinatensysteme haben. Jedes Koordinatensystem ist bestimmt durch eine Menge sog. Basis-Vektoren.

Dann kann jeder Vektor des Vektorraums als sog. Linearkombination aus den Basis-Vektoren dargestellt werden kann. Eine solche “Linearkombination” ist eine Summe von Basis-Vektoren, die mit geeigneten Skalaren multipliziert wurden.

Beispiel für eine Linearkombination:

\( \Large a \vec{v} + b \vec{w} + c \vec{u} \)

Ganz genau genommen, spannt eine Basis nicht nur den ganzen Vektorraum auf (das wäre ein Erzeugendensystem), sondern enthält dabei eine minimale Anzahl von Vektoren (was äquivalent ist mit der eindeutigen Darstellung aller Vektoren des Vektorraums in Form von Linearkombinationen).

Beispiel für eine Basis (im Vektorraum \(\mathbb{R}^3\) ):

\( \hat{i} =\left[ \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 0 \end{array} \right] \hat{j} =\left[ \begin{array}{c} 0 \\\ 1 \\\ 0 \end{array} \right] \hat{k} =\left[ \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ 1 \end{array} \right] \)

Und man schreibt dann auch gerne:

\( \Large \vec{v} = \left[ \begin{array}{c} x \\\ y \\\ z \end{array} \right] = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}\)

Ein Vektorraum kann mehrere Basen haben, die jeweils ein Koordinatensystem definieren. Dabei werden die Koordinaten (Komponenten) ein und desselben Vektors in verschiedenen Koordinatensystem auch verschieden sein, der Vektor selbst aber ist “invariant”. Wenn man einen Vektor als Liste von Koordinaten hinschreibt, muss man immer sagen. welche Basis gemeint ist.

Ein Vektorraum kann mehrere Basen haben, aber die Anzahl der Vektoren in einer Basis ist immer die gleiche. Diese Anzahl nennt man “Dimension” des Vektorraums und schreibt:

Dimension des Vektorraums V: dim(V)

Beschreibung durch Basis-Vektoren: Lineare Transformationen

Eine Lineare Transformation kann eindeutig beschrieben werden durch die Werte auf die die Basis-Vektoren abgebildet (transformiert) werden.

Beispielsweise heisst das im Vektorraum \(\mathbb{R}^2\) mit dem kanonischen Koordinatensystem und den Basisvektoren \( \hat{i} \) und \( \hat{j} \) folgendes:

Wenn wir einen Vektor \( \vec{v} = \left[ \begin{array}{c} x \\\ y \end{array} \right] = x \hat{i} + y\hat{j} \) betrachten, so wirkt eine Lineare Transformation L wie folgt:

\( L(\vec{v}) = x L(\hat{i}) + y L(\hat{j} ) \)

Wenn wir also die transformierten Basisvektoren \( L(\hat{i}) \) und \( L(\hat{j}) \) kennen, ist damit die Lineare Transformation L vollständig festgelegt.

Diese transformierten Basis-Vektoren können im verwendeten Koordinatensystem als Matrix schreiben.

Wenn bei unserer Linearen Transformation beispielsweise \( L(\hat{i}) = \left[ \begin{array}{c} 3 \\\ -2 \end{array} \right] \) und \( L(\hat{j}) = \left[ \begin{array}{c} 2 \\\ 1 \end{array} \right] \) wäre, bekämen wir eine Matrix:

\(\left[ \begin{array}{rr} 3 & 2 \\ -2 & 1 \\ \end{array} \right] \)

Wir schreiben also in den Spalten der Matrix die transformierten Basisvektoren.
Die Lineare Transformation könnte im benutzten Koordinatensystem als Matrixmultiplikation aufgefasst werden:

\(\left[ \begin{array}{rr} 3 & 2 \\ -2 & 1 \\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x \\\ y \end{array} \right] = x \left[ \begin{array}{c} 3 \\\ -2 \end{array} \right] + y \left[ \begin{array}{c} 2 \\\ 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 3x+2y \\\ -2x+1y \end{array} \right]\)

Völlig analog werden auch Lineare Transformationen in drei oder mehr Dimensionen behandelt.

Beschreibung durch Basis-Vektoren: Wechsel von Koordinatensystemen

Wenn wir zwei Koordinatensysteme betrachten, dann haben die also zwei Basen (wir nennen sie “alte Basis” und “neue Basis”). Intuitiv ist klar, dass wenn die neue Basis z.B. längere Basisvektoren hat, dann sind die Vektorkomponenten kürzer (weil ja der gleiche Vektor wieder herauskommen soll). Die Vektorkomponenten verhalten sich also “umgekehrt” wie die Längen der Basisvektoren. Deshalb nennt man diese Vektoren “kontravariant“.

Wir können das auch haarklein ausrechnen:

Die “alte Basis” sei: \( \vec{e}_i \)
Die “neue Basis” sei: \( \tilde{\vec{e}}_i \)

Dann transformieren sich die Basisvektoren wie folgt:

Alt -> Neu (“Foreward”):

\( \tilde{\vec{e}}_i = \sum\limits_{k=1}^{n} F_{ki} \vec{e_k}\)

Neu -> Alt (“Backward”):

\( \vec{e}_i = \sum\limits_{j=1}^{n} B_{j i} \widetilde{\vec{e_j}}\)

Für die Komponenten eines Vektors \( \vec{v} \) gilt dann die umgekehrte Richtung (deshalb nennt man sie “kontravariant“)

Alt -> Neu:

\( \tilde{v_i} = \sum\limits_{j=1}^{n} B_{ij} v_j \)

Neu -> Alt

\( v_i = \sum\limits_{j=1}^{n} F_{ij}\tilde{v_j} \)

Berechnung der Länge eines Vektors aus seinen Komponenten

Länge eines Vektors im Chartesischen Koordinatensystem

Wir sind ja gewöhnt, die Länge eines z.B. dreidimensionalen Vektors über seine Koordinaten und den Lehrsatz des Pythagoras zu berechnen:

Im Beispiel sei der Vektor \( \Large \vec{v} = \left[ \begin{array}{c} v_1 \\\ v_2 \\\ v_3 \end{array} \right] \)

Dann wäre die Länge dieses Vektors gegeben durch: \( || \vec{v} ||= \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2} \) (der gute alte Pythagoras)

In verschiedenen Koordinatensystemen würde dieser Vektor aber mit verschiedenen Koordinaten (Komponenten) beschrieben und es würden mit obiger Formel dann unterschiedliche Längen heraus kommen.

Uns ist ja klar, dass wir zu den Koordinaten (Komponenten) eines Vektors auch immer angeben müssen, in welchem Koordinatensystem diese gemessen werden; d.h. wir müssen zu den Koordinaten die dazugehörige Basis angeben – und berücksichtigen.

Wenn wir als Basis allgemein schreiben: \( \vec{e}_i \)

dann können wir mit den Komponenten unseres Vektors zu dieser Basis schreiben:

\( \Large \vec{v} = \left[ \begin{array}{c} v_1 \\\ v_2 \\\ v_3 \end{array} \right] = v_1 \vec{e}_1 + v_2 \vec{e}_2 + v_3 \vec{e}_3\)

Im Spezialfall der orthonormalen Basis:

\( \vec{e}_1 = \hat{i}, \vec{e}_2 = \hat{j}, \vec{e}_3 = \hat{k} \)

hätten wir die Länge unseres Vektors nach Pythagoras (s.o.); mit den Koordinaten zu einer anderen Basis müssten wir umrechnen…

Länge eines Vektors in einem beliebigen Koordinatensystem

Wir hatten die Länge eines Vektors unabhängig von einem Koordinatensystem (also invariant) definiert über:

\( \Large {|| \vec{v} ||}^2 = \vec{v} \cdot \vec{v} \\\)

Wir nehmen jetzt ein beliebiges Koordinatensystem definiert durch seine Basisvektoren \( \vec{e}_i\).
Dann können wir die Länge des Vektors wie folgt aus seinen Komponenten (Koordinaten) berechnen:

\( \Large || \vec{v} ||^2 = (v_1 \vec{e}_1 + v_2 \vec{e}_2 + v_3 \vec{e}_3) \cdot(v_1 \vec{e}_1 + v_2 \vec{e}_2 + v_3 \vec{e}_3) \\ \)

Wenn wir das ausmultiplizieren bekommen wir:

\( \Large || \vec{v} ||^2 = \sum\limits_{ij} v_i v_j \enspace \vec{e}_i \cdot \vec{e}_j \\ \)

Um die Länge eines Vektors in einem beliebigen Koordinatensystem zu ermitteln, benötigen wir also “lediglich” alle Kombinationen der inneren Produkte der Basisvektoren dieses Koordinatensystems; d.h. alle \( \vec{e}_i \cdot \vec{e}_j \)

Als Matrix können wir diese Produkte so hinschreiben:

\(\Large g = \left[ \begin{array}{rrr} \vec{e}_1 \cdot \vec{e}_1 & \vec{e}_1 \cdot \vec{e}_2 & \vec{e}_1 \cdot \vec{e}_3\\ \vec{e}_2 \cdot \vec{e}_1 & \vec{e}_2 \cdot \vec{e}_2 & \vec{e}_2 \cdot \vec{e}_3 \\ \vec{e}_3 \cdot \vec{e}_1 & \vec{e}_3 \cdot \vec{e}_2 & \vec{e}_3 \cdot \vec{e}_3 \end{array} \right] \\\)

Diese Matrix g nennt man auch den Metrik-Tensor des Koordinatensystems.

Mit Hilfe dieses Metrik-Tensors ergibt sich dann die Länge des Vektors \(\vec{v}\) ganz einfach als Matrixprodukt:

\(\Large || \vec{v} ||^2 = \left[ \begin{array}{ccc} v_1 & v_2 & v_3 \end{array} \right] g \left[ \begin{array}{c} v_1 \\\ v_2 \\\ v_3 \end{array} \right] \\\)

Ganz allgemein kann man mit diesem Metrik-Tensor das innere Produkt zweier Vektoren aus den Komponenten berechnen:

\( \Large \vec{v} \cdot \vec{w} = \left[ \begin{array}{ccc} v_1 & v_2 & v_3 \end{array} \right] g \left[ \begin{array}{c} w_1 \\\ w_2 \\\ w_3 \end{array} \right] \)

Das funktioniert, weil der Metrik-Tensor nicht “irgendeine” Matrix ist, sondern “invariant” ist; d.h. unabhängig vom gewählten Koordinatensystem kommt immer das gleiche Ergebnis heraus.

Der Metrik-Tensor

Der Metrik-Tensor definiert also eine (bilineare) Abbildung:

\( g: V \times V \to \mathbb{R} \\\)

Ein Metrik-Tensor ist eine spezielle Bilineare Abbildung, die erstens symmetrisch ist und zweitens immer positive Werte liefert.

Dies ist auch im Prinzip der Metrik-Tensor, der in den Einsteinschen Feldgleichungen als \( g_{\mu \nu} \) vorkommt.

Oben hatten wir das innere Produkt zweier Vetoren ja versucht unabhängig von einem Koordinatensystem zu definieren.
Man kann das Ganze nun aber auch umgekehrt “aufzäumen”. Wenn wir einen Vektorraum und eine Basis haben (damit also ein Koordinatensystem), brauchen wir nur noch einen Metrik-Tensor “g” und können damit ein inneres Produkt zwischen zwei Vektoren v und w als schlichte Matrix-Multiplikation definieren:

\( \Large \vec{v} \cdot \vec{w} = \vec{v}^T \enspace g \enspace \vec{w} \\ \)

Wobei das hochgestellte T “transponiert” meint. So wird aus einem Spaltenvektor ein Zeilenvektor.

Beispielsweise definiert der folgende Metrik-Tensor die übliche Metrik für alle Koordinatensysteme mit einer orthonormaler Basis – denn das innere Produkt verschiedener Basisvektoren ist Null (weil orthogonal) und das innere Produkt eines Basisvektors mit sich selbst ist 1 (weil Länge 1):

\(\Large g = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \\\)

Das gilt z.B. für ein “normales” Koordinatensystem im Euklidischen Raum.
Mit dieser Metrik ist die Länge eines Vektors also:
\( || \vec{v} ||^2 = v_1^2 + v_2^2 + v_3^2 \)
und diese Länge ist invariant gegenüber Koordinatentransformationen.

Und eine Minkowski-Metrik wird definiert durch den Metrik-Tensor:

\(\Large \eta = \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1\end{array} \right] \\\)

Mit dieser Metrik wäre die Länge eines Vektors also gegeben durch:

\( || \vec{v} ||^2 = v_1^2 – v_2^2 – v_3^2 – v_4^2\)

Diese so definierte Länge wäre invariant gegenüber Lorentz-Transformationen, die wir später in der Speziellen Relativitätstheorie kennenlernen werden.

Was ist ein Tensor?

Der oben beschriebene Metrik-Tensor ist ein Tensor vom Rank 2. D.h. eine zweidimensionale (also “normale”) Matix, die sich bei Transformation der Koordinatensysteme “freundlich” verhält, sodass wir von “Invarianz” sprechen können.

Allgemein und formal ist ein Tensor T eine multilineare Abbildung von einem cartesischen Produkt von Vektorräumen über einem gemeinsamen Körper von Skalaren in diesen Skalaren-Körper:

\( T: V_1 \times V_2 \times … \times V_n \to K \)

Wobei die \(V_i\) Vektorräume über K sind.

Das allgemeine Thema “Tensor” ist mathematisch vielschichtig, deshalb habe ich begonnen, einen separaten Artikel darüber zu geschrieben.

Link: https://youtu.be/8ptMTLzV4-I

Determinante und Rank

Diese Konzepte werden in Video 6 und Video 7 behandelt.

Bei einer Linearen Transformation wird die Fläche des Quadrats aus den Basisvektoren um einen Faktor “transformiert”. Damit wird auch jede beliebige Fläche um diesen Faktor “transformiert”. Diesen “Faktor” nennen wir die Determinante der Linearen Transformation.

Entsprechend ist das auch in höheren Dimensionen z.B. mit drei Dimensionen, wo die Größe des Volumens transformiert wird.

Eine negative Determinante bedeutet, dass sich bei der linearen Transformation die “Orientierung” des Vektorraums umkehrt.

Der Rank meint die Dimension des Ausgaberaums einer Linearen Transformation. Wenn der Rank einer Transformation nicht die volle Dimension (“full rank”) unseres Vektorraums ist, ist die Determinante dieser Transformation natürlich Null, aber der Rank kann etwas differenzierter aussagen was da los ist z.B. der Rank einer 3-dimensionalen Matrix (Transformation) könnte 2 sein, dann ist der Ausgaberaum eine Ebene (2 Dimensionen), wenn der Rank 1 wäre, hätten wir als Ausgaberaum eine Linie (eine Dimension) etc. Dieser “Ausgaberaum” wird auch “Column Space” genannt, weil die Spaltenvektoren diesen aufspannen…

Computer: Mathematik – Statistik

31. July 202017. July 2026 dkracht

Mathematik: Statistik (aus Wiki)

Gehört zu: Mathematik, Logarithmische Normalverteilung

Immer wieder werde ich als gelernter Mathematiker nach elementaren Themen der Statistik gefragt.

Ich habe einen schönen Einführungskurs in die Statistik bei der Universität Newcastle, Australien, gefunden:

http://www.anu.edu.au/nceph/surfstat/surfstat-home/t-table.html

http://www.anu.edu.au/nceph/surfstat/surfstat-home/

Statistik

Typen von Variablen (“Metriken”)

Qualitativ / Quantitativ

Man spricht von “qualitativen” Variablen, wenn die Beobachtungen durch Kategorien beschrieben werden.
Beispiele:

Augenfarbe: braun, grau, blau,…
Delivery Model: insourced, outsourced
Performance Rating: Less than Acceptable, Inconsistent, Fully Successful, Exceeds, Exceptional

Eine qualitative Variable heist “ordinal”, wenn es eine natürliche Reihenfolgebeziehung zwischen den Kategorien gibt, (Beispiel: Performance Rating).

Eine qualitative Variable heisst “nominal”, wenn es keine natürliche Reihenfolgebeziehung gibt, (Beispiel: Augenfarbe).

Man spricht von “quantitativen” Variablen, wenn die Beobachtungen durch numerische Werte beschrieben werden, d.h. durch Zählen oder Messen zustande kommen.
Beispiele:

Alter
Körpergröße
Anzahl Personen im Haushalt
Anzahl gerauchter Zigaretten am Tag
Einkommen im Jahr

Eine quantitative Variable heisst “diskret”, wenn die Beobachtungen ganzzahlige Werte sind (Beispiel: Anzahl Personen im Haushalt).

Eine quantitative Variable heisst “stetig” (continous), wenn sie durch (im Prinzip) beliebige Zahlen dargestellt wird (Beispiel: Körpergröße).

Normalverteilung mit Perzentil

Fragestellung zu einer Normalverteilung N(My,Sigma):

Gegeben sei My und P25
Gesucht ist Sigma
Lösung: sigma = (P25 – My) / NormInv(0,25; 0; 1)

Im übrigen gilt sowieso: P25 = NormInv(0,25; My; Sigma)

Logarithmische Normalverteilung

Zur Logarithmischen Normalverteilung habe ich einen gesonderten Artikel geschrieben.

Beta-Verteilung

Zur Beta-Verteilung habe ich einen gesonderten Artikel geschrieben.

— Dkracht 12:29, 24 March 2008 (CET)

Astronomie: Swing-by-Manöver

15. July 20203. March 2023 dkracht

Gehört zu: Astronomie, Himmelsmechanik
Siehe auch: Sonnensystem

Stand: 29.07.2020

Was bringen Swing-by-Manöver?

Als Schüler war ich ja ein Fan von SciFi-Heften. Ich erinnere mich an eine SciFi-Geschichte, bei der der “geniale Held” auf die Idee kam, für eine längere Reise zum Saturn den Asteroiden (944) Hidalgo zu verwenden, um Treibstoff zu sparen.

Schon als Schüler war mir klar, das er statt auf dem Hidalgo zu landen (mit Relativgeschwindigkeit Null), auch mit der gleichen Energie einfach auf die Hidalgobahn einschwenken könnte und dann nach den Gesetzen der Himmelsmechanik exakt wie der Hidalgo selbst sich bewegen würde und schließlich an der Saturnbahn angekommen, müsste er mit der gleichen Energie wie sie zum Überwechseln von Hidalgo auf den Saturn benötigt wird, auch aus seiner Hidago nachempfundenen Bahn in die Saturnbahn einschwenken können. Er hätte also keine Energie (Treibstoff) gespart.

In der Raumfahrt der 70er Jahre hörte ich nun erneut von mir ähnlich klingenden “Wunder-Manövern” der Raumsonden Pioneer 10 und Pioneer 11, die Treibstoff sparen sollten. War das das gleiche (wie oben) Null-Summen-Spiel oder was steckte da dahinter (wenn die NASA mit so etwas ernsthaft arbeitet)?

Michael Minovitch, der am Jet Propulsion Laboratory (JPL) arbeitete, berechnete 1961 erstmals die Daten solcher “Swing-by” Manöver (auch “Gravitational Slingshot” oder “fly by” genannt) . Das war tatsächlich kein “Null-Summen-Spiel”, sondern eine realistische Möglichkeit durch solche Manöver Energie “einzusparen” und die “böse” Raketengleichung auszutricksen. Schon in der Frühzeit der Raumfahrt hatte die sowjetische Sonde Luna 3 (1959) die Swing-by-Technik ausgenutzt.

Quelle: MIT OpenCourseWare (Youtube Video https://youtu.be/1s6_4qX-u2o)

Himmelsmechanik von Swing-by-Manövern

Nehmen wir mal ein stark vereinfachtes Gedankenmodell: Auf der Höhe der Saturnbahn nähert sich eine Raumsonde dem Saturn.

Zur Erklärung dieses “positiven” Swing-by-Effekts betrachten wir die Angelegenheit mal in zwei unterschiedlichen Koordinatensystemen.

Im Koordinatensystem “Sonnensystem” sehen wir folgendes:

der Saturn bewege sich mit eine Bahngeschwindigkeit von v_s (ca. 9,65 km/s)
die Raumsonde bewege sich mit einer dreifach so großen Geschwindigkeit v₁ genau entgegengesetzt auf den Saturn zu (also: v₁ = -3 v_s)
nach dem Swing-by bewege sich die Raumsonde mit einer Geschwindigkeit v₂ in exakt der gleichen Richtung wie der Saturn

Wenn wir dieses Geschehen in einem Koordinatensystem “Saturn” (Relativgeschwindigkeiten in Bezug auf Saturn, Superscript “rel”) beschreiben, ergibt sich:

Geschwindigkeit des Saturn: v_s^rel = 0
Raumsonde ankommend (“initial”): v₁^rel = v₁ – v_s
Raumsonde wegfliegend (“final”): v₂^rel = v₂ – v_s

Der Erhaltungssatz (Impuls) in Bezug auf das Koordinatensystem “Saturn” ergibt:

v₁^rel = – v₂^rel

Und damit:

v₁ – v_s = -v₂ + v_s

2 v_s = v₂ + v₁

Wenn wir hierin einsetzen: v₁ = -3v_s bekommen wir:

v₂ = 5 v_s = – (5/3) v₁

Die Geschwindigkeit der Raumsonde hat sich also deutlich (Faktor 1,666..) erhöht.

Genaugenommen ist die Bahngeschwindigkeit des Saturn vor dem Swing-by und nach dem Swing-by nicht ganz genau gleich. Wir vernachlässigen diesen winzigen Unterschied hier wegen der Massenverhältnisse (Saturnmasse 5,6 * 10²⁶kg).

Computer: ZoneAlarm (aus Wiki)

2. June 202019. May 2021 dkracht

ZoneAlarm Internet Security Suite

Gehört zu: Computer

Siehe auch: Internet, Firewall

ZoneAlarm Internet Security Suite

Eine Suite aus VirenScanner, PersonalFirewall und Spamfilter. Solche Kombi-Produkte InternetSecurity werden jetzt von praktisch allen Herstellern angeboten.

ZoneAlarm ist der Testsieger bei: http://www.pcpro.co.uk/labs/136/internet-security-suites/products.html

Background Info

Der Spamfilter im MicrosoftOutlook sortiert die verdächtige E-Mail in die Outlook-Ordner:
- ZoneAlarm Challenged Mail
- ZoneAlarm Junk Mail (mit Unterordner: ZoneAlarm Phishing Mail)
VirenScanner
- Die Anti-Virus-Komponente stammt von CA “CA Anti-Virus”.
- Diese hat CA früher eTrust® EZ Antivirus genannt
- CA hat 2001 die Entwicklerfirma Cybec gekauft (Produktnamen: Inoculate, Vet)
Firewall
- Für den erstklasssigen Firewall ist ZoneAlarm bekannt, die Firma wurde 2004 von Check Point Software übernommen.

Probleme und Lösungen

Konflikt mit PGP

Beim Installieren gab es einen Konflikt mit der vorhandenen Installation von PGP (“lsp-Konflikt”).
LSP steht für Layered Service Provider, was es in Winsock2 möglicht, sich in das TCP/IP-Protokoll einzuklinken…
Lösung: PGP entinstalliert (temporär)

Outlook-Plugin installiert sich nicht

Die Integration mit MicrosoftOutlook funktionierte nicht auf Anhieb. Mögliche Ursache ist, dass ich Laufwerk D: verwende.

Das Outlook-Plugin (auch “MailBuddy” genannt”) ist:

“D:/Programme/Zone Labs/ZoneAlarm/MailFrontier/mlfoshim.dll”.

Dies kann man im Outlook unter

“Extras>Optionen>Weitere>Erweiterte Optionen>COM-Add-Ins…”

manuell installieren.

— Main.DietrichKracht – 10 Dec 2006

Computer: Version Control mit ZeusSCC-CVS (aus Wiki)

2. June 20201. January 2021 dkracht

Version Control mit ZeusSCC-CVS (aus Wiki)

From Dietrich’s old Wiki

Zeus SCC-Provider

Zum File-Editor (FileEditing) ZeusEdit gibt es einen sog. Source Code Control Provider (Microsoft API SCC).

Damit wird VersionControl mit CVS ermöglicht.

Alternativer SCC CVS Provider: Jalindi Igloo http://www.jalindi.com/igloo

Installation

Definitive Software Library ID: Zeus SCC-CVS
Name: Zeus SCC-CVS
Version: v 1.60
Hersteller/Bezugsquelle: http://www.zeusedit.com/archives/scccvs.html
Systemvoraussetzungen: CVS
Installations-Ordner: D:\Programme\ZeusSCC-CVS
Konfiguration

Dadurch werden zwei Dinge installiert:

ein SCC-Provider (den man auch für andere IDEs nutzen kann, z.B. HomeSite, XmlSpy,…)
ein Windows cvs.exe (das man auch unabhängig von Zeus nutzen kann s.u.)

Zeus SCC-Provider

Alle SCC-Provider sind im Registry eingetragen. Die Eintragung für Zeus SCC-CVS lautet:

[HKEY_LOCAL_MACHINE\SOFTWARE\SourceCodeControlProvider\InstalledSCCProviders]
   "Zeus SCC-CVS"="SOFTWARE\Xidicone\ZeusSCC-CVS"
[HKEY_LOCAL_MACHINE\SOFTWARE\Xidicone\ZeusSCC-CVS]
   "SCCServerName"="ZeusSCC-CVS"
   "SCCServerPath"="d:\Programme\ZeusSCC-CVS\zCVS.DLL"

Analog trägt sich z.B. auch CS-RCS als SCC-Provider so ein.

— Main.DietrichKracht – 22 Oct 2005

Computer: Zeitmessung (aus Wiki)

2. June 202018. June 2026 dkracht

Physik: Zeitmessung und Navigation (aus Wiki)

Gehört zu: Astronomie

Siehe auch Analemma, SI-Einheiten

Zeitmessung und Navigation

Stichworte

Sommerzeit, H.4 Chronometer, Zeitmessung, Uhr, Navigation, Räderuhr, Pendeluhr, Huygens, Harrison, Cook, Quarzuhr, GPS, Zeitzeichen, Zeitzone, GMT, Atomuhr, UTC, PTB, Venusdurchgang, Astrolabe, Oktant, Sextant, Eisenbahn, Meridian, …

Überblick

750 In der Literatur werden erstmals Sanduhren erwähnt.
1284 Die erste mechanische Turmuhr wird an der Kathedrale von Exeter (England) in Betrieb genommen.
1288 Die Westminster Hall zu London erhält eine mechanische Türmeruhr. Die Tageseinteilung in zweimal zwölf gleich lange Stunden beginnt.
1300 In Florenz wird die erste öffentliche mechanische Stadtuhr aufgestellt,
1336 In Florenz wird eine Turmuhr mit Schlagwerk bekannt
1344 In Padua vollendet Jacopo de Dondi eine öffentliche Schlagwerkuhr.
1345 (spätestens) Die Stunde wird in 60 Minuten zu 60 Sekunden eingeteilt
1348 London erhält seine erste öffentliche Schlagwerkuhr, Big Tom genannt.
1511 Der Nürnberger Schlosser Peter Henlein baut tragbare Uhren – vermutlich gab es tragbare Uhren aber auch schon früher…
1587 … einer erste Uhr mit Stunden und Minutenzeiger, die auf einer gemeinsamen Achse (“koaxial”) sitzen…
1655 Christiaan Huygens (1629-1695) entdeckt in Den Haag mit seinem Fernrohr den ersten Saturnmond (Titan).
1656 Christiaan Huygens entdeckt die Saturnringe und den Orionnebel…
1656 Christiaan Huygens erfindet die Pendeluhr, die er 1657 zum Patent anmeldet. (franz. Patentamt?).
1665 oder 1674 Huygens konstruiert aus Spiralfeder und Unruh ein Schwingungssystem für eine Taschenuhr, wofür er 1675 ein französiches Patent erhält. Prioritätsstreit mit R. Hooke (Elastizitätsgesetz).
1761 Das von John Harrison gebaute Chronometer H.4 wird auf einer Reise nach Jamaica getestet. Auf der zwei Monate langen Reise verliert der “Time Keeper” nur 5 Sekunden.
1768-1771 Kapitän James Cook konnte auf seiner ersten Reise den H.4 noch nicht mitnehmen.
1772-1775 Zweite Reise von James Cook (HMS Resolution) mit Harrisons H.4 Chronometer…
1776-1779 Dritte Reise von James Cook. Tod auf Hawaii.
1825 Eröffnung der ersten Eisenbahnstrecke in England zwischen Stockton und Darlington am 17.09.1827. George Stephenson (1781-1848), der Erbauer der Lokomotive, steuert sie selbst.
1835 Eisenbahn Nürnberg-Fürth
1880 In Großbritannien wird die Greenwich Mean Time GMT eingeführt
1893 Im Deutschen Reich wird die Mitteleuropäische Zeit MEZ eingeführt
1926 Die GMT wird durch die Universal Time UT abgelöst
1929 wurde die erste Quarzuhr von dem amerikanischen Uhrmacher Warren A. Marrison gebaut.
1946 Am 6. Dezember stellt der amerikanische Physiker Willard F. Libby (1949 Radiocarbon-Methode) seine Atomuhr öffentlich vor. Seine Erfindung, die Atomuhr, die eine sehr genaue Zeitbestimmung möglich macht, weil sie in 300.000 Jahren weniger als eine Sekunde nachgeht, zählt die eigenen Schwingungen des Cäsium Atoms.
1967 Definition der SI-Sekunde anhand der Cäsium-Atomuhr (9 192 631 770 Schwingungen sind eine Sekunde)
1972 Einführung der Universal Time Controlled UTC anstelle der UT von 1926
1978 Start des ersten Satelliten für den Aufbau des GPS Global Positioning System. 24 Satelliten mit Atomuhren an Bord…

Uhren

Die ersten Methoden zur Zeitmessung: Sonnenuhr, Wasseruhr, Sanduhr. Wichtiger Meilenstein: Die Erfindung der Mechanischen Räderuhr. Diese Art von Uhren gab es am Anfang vor allem in Klöstern. Die schweren Gewichte trieben auch die Mechanik des Stundenschlag an…

Wann, wo und von wem die ersten Räderuhren mit mechanischem Hemmwerk gebaut wurden, ist nicht bekannt. Jedenfalls geschah dies im ausgehenden 13. Jahrhundert, möglicherweise in Spanien, aber auch Frankreich kommt als Heimat der Räderuhr in Frage.

Um 1300 werden Räderuhren mit Gewichtantrieb, Spindelhemmung und Waag werden zunehmend hergestellt. Daraufhin beginnt etwa ab 1310 die Ausstattung von Kirchen, Rathäusern, Klöstern und Türmen mit großen Räderuhren und Schlagwerken. Doch man musste immer wieder mit der Sonnenuhr die Zeit überprüfen und die Uhren neu stellen!

Christiaan Huygens erforscht die Pendelbewegungen (unabhängig von Galilei zum zweiten Mal) und erfindet die Pendeluhr, die er 1657 zum Patent anmeldet. (franz. Patentamt?) . Solche Uhren waren, bzw. sind so genau, dass sie nur wenige Sekunden pro Tag abweichen! Aber nur unter der Voraussetzung, dass die Uhr an einem Ort stehenblieb.

Huygens konstruiert aus Spiralfeder und Unruh ein Schwingungssystem für eine Taschenuhr, wofür er 1675 ein französiches Patent erhält. Prioritätsstreit mit R. Hooke (Elastizitätsgesetz). Die neuen Uhren mit Spiralfeder und Unruh haben eine deutlich bessere Ganggenauigkeit, als die bisher üblichen Taschenuhren. Deshalb wird jetzt der Minutenzeiger eine ständige Einrichtung bei den moderen Uhren (früher liess man ihn oft weg, u.a. wegen der Ungenauigkeit).

um 1680 Die erreichte Präzision und die Genauigkeit der Pendeluhren führen zum allgemeinen Einsatz des Minutenzeigers im Zentrum des Zifferblattes.

Das von John Harrison (1693-1776) gebaute Chronometer H.4 wird 1761 auf einer Reise der HMS Deptfort nach Jamaica getestet. Auf der zwei Monate langen Reise verliert der “Time Keeper” nur 5 Sekunden. Das entspricht einer Abweichung von 1,25′ in der Bestimmung der geographischen Länge; d.h. 2,2 km. Harrison erfüllte damit die Bedingungen des Board of Longitude Acts von 1714, mit dem ein Preisgeld von 20000 Pfund ausgesetzt wurde für eine Abweichung kleiner 30 Meilen.

Navigation

Der Navigator auf See konnte seine geografische Breite sehr gut mit dem Sextanten bestimmen (z.B. Höhe der Mittagssonne). Zur Ermittlung der geografischen Länge muss man z.B. die Zeit des Meridiandurchgangs (etwa der Sonne) bestimmen, wozu aber die genaue Kenntnis der Ortszeit notwendig ist. Eine Zeitungenauigkeit von 4 Sekunden bedeut eine um 1,8 km (eine Seemeile) verfälschte Positionsbestimmung (am Äquator).

1598 König Philipp II. von Spanien setzte einen Preis für eine Methode zur Bestimmung der geogrfoschen Länge aus (Williams, 1992:78).

1674 Setzte König Charles II von England eine Kommission ein, die das Problem der Längenbestimmung lösen sollte. Mit dieser Aufgabe wurde dann das 1675 gegründete Royal Greenwich Observatory beauftragt.

22.10.1707 Die halbe englische Flotte geht bei den Scilly Inseln (westlich von Cornwall) verloren. Admiral Sir Clowdisley Shovel und seine Navigatoren hatten auf dem Rückweg von siegreichen Schlachten die Position der Flotte (wegen ungenauer Schiffsuhren???) so falsch ermittelt, dass es zur Katastrophe kam, bei der 2000 Seeleute ums Leben kamen. Geschockt von diesem Unglück befasste sich das House of Commons mit der Thematik.

08.07.1714 Aufgrund einer Empfehlung des House of Commons unterschreibt Queen Anne einen Act, der für die Entwicklung genauerer Methoden für die praktische Längenbestimmung auf See einen Preis aussetzte: Auf einer sechswöchigen Reise nach Westindien (Karibik) für eine Längenabweichung bis 60 Meilen: 10000 Pfund, bis 40 Meilen: 15000 Pfund und bis 30 Meilen: 20000 Pfund. Das dafür ins Leben gerufene Board of Longitude sollte eingehende Vorschläge prüfen und über die Vergabe des Preis entscheiden (Quill, 1966:7).

Wesentliche Ursachen für Gangungenauigkeiten der damaligen Uhren mit Feder/Unruh: Zu empfindlich gegenüber äußeren Erschütterungen und Temperaturschwankungen…

1759 Konstruierte John Harrison (1693-1776) das H.4 genannte Schiffs-Chronometer, welches 1761 diese Prüfung erfolgreich bestand: Auf einer zweimonatigen Reise von England nach Jamaica mit der HMS Deptfort ging die H.4 nur 5 Sekunden falsch, was einer Längenabweichung von weniger als 2 Meilen entsprach. Auf der geografischen Breite von Jamaica (18 Grad Nord) entsprechen 5 Sekunden genau 2,2 km. (H.4 Durchmesser: 5 1/4 Zoll, Technologie “Remontoire”). Den Preis erhielt Harrison erst 11 Jahre später auf Grund einer Intervention von König George III nachdem sich dieser von den Erfolgen des Nachfolgemodells H.5 (1772) persönlich überzeugt hatte.

Kapitän James Cook konnte auf seiner ersten Reise (1768-1771 HMS Endeavour, Venusdurchgang Tahiti 3.6.1769) den H.4 noch nicht mitnehmen.

Auf seiner zweiten Reise (1772-1775 HMS Resolution) verwendete Cook den H.4 Chronometer und konnte so die genaue Kartierung des südlichen Indischen Ozeans (der sich zwischen 40 und 60 Grad Süd einfach als leer erwies), Australiens, Neuseelands und fast aller Gebiete des Pazifiks durchführen.

Dritte Reise von Cook (1776-1779) (Namen der Schiffe?? H.4 an Bord??). Tod auf Hawaii.

Das Ergebnis der letzten beiden Reisen von Cook mit dem H.4 war: Umfassende und genaue Kartografierung der Welt. Es gab keine unbekanten Gegenden mehr. Die seit Jahrhunderten erhoffte Terra Australis Incognita gab es nicht. Das Zeitalter der Entdeckungen war beendet. Als letzte Herausforderungen blieben noch die Arktis/Antarktis und der Weltraum…

Schiffs-Chronometer waren anfangs ziemlich teuer und fanden deshalb zunächst keine große Verbreitung. Später konnten Zeitsignale der Greenwich Mean Time (GMT) per Radiowellen gesendet werden und so auch die Zeitabweichungen billigerer Uhren korrigieren. Die Erfindung der Quarz-Uhr machte dann auch das Radio-Zeitzeichen überflüssig. Schießlich wurde durch die Einführung von GPS und die Verfügbarkeit kleiner und erschwinglicher GPS-Empfänger die Navigation zu einem Kinderspiel…

Zeitmessung und Kalender

Babylonische Zeiteinheiten

Die Babylonier sollen den Tag in 24 Stunden zu ja 60 Minuten eingeteilt haben….

Sommerzeit in Deutschland

Erstmals wurde die Sommerzeit in Deuschland am 01.05.1916 eingeführt. Sie gilt in Deutschland:

1916 – 1918
1942 – 1949
1980 – heute (Vorgeschrieben für die ganze EU)

Zeitzonen

Es war üblich, dass jeder Ort die seiner geografischen Länge entsprechende Ortszeit benutze. Der Uhrmeister der Kirchturmuhr bestimmte die Ortszeit. Bei Reisen von Ort zu Ort musste man am Ankunftsort seine Taschenuhr auf die neue Zeit einstellen. Nach der Verbreitung der Eisenbahn entwickelte sich aus diesem Zeitsystem schnell ein Chaos. Anschläge in Londoner Bahnhöfen: Exeter-Zeit ist 7 Minuten vor London-Zeit, Liverpool-Zeit ist vier Minuten vor London-Zeit usw. Die Eisenbahngesellschaften führten parallel zu den “amtlichen” Ortszeiten “Eisenbahnzeiten” ein. Kirchturmuhren wurden mit zwei Minutenzeigern versehen: Eisenbahnzeit und Ortszeit….

Bis zur Einführung von Zeitzonen (Fleming s.u.), galt an den meisten Punkten der Erde tatsächlich die Ortszeit, oder die Ortszeit eines nahen Ortes. So galt z.B. in Bayern die Münchener Ortszeit und in Berlin die Berliner Ortszeit. Da Berlin knapp 2° östlicher als München liegt, gingen dort die Uhren 7 Minuten vor gegenüber den Uhren in München.

1878 machte der Canadische Eisenbahn-Ingenier Sanford Fleming (1827-1915) den Vorschlag statt der bis dahin üblichen lokalen Ortszeiten für jede Stadt, eine Universal Time mit 24 Zeitzonen einzuführen (15 Grad = 1 Stunde, 24 mal 15 = 360 Grad). Die Eisenbahngesellschaften in Amerika führten das Flemingsche System der Zeitzonen am 18.11.1883 ein.

Am 1. November 1884 wurde von der Internationalen Meridiankonferenz in Washington D.C. beschlossen dieses System weltweit einzuführen (World Time Convention). Der Meridian von Greewich wird als “Nullmeridian” festgelegt. Auf den “gegenüberliegenden” Seite der Erde befindet sich die Datumsgrenze.
Quellen: http://www.crooksville.k12.oh.us/5thgrade/timezone.html http://www.nationmaster.com/encyclopedia/Sandford-Fleming

Seit dem 01.04.1893 gilt für Deutschland, dass genau am 15. Längengrad Ost gelegene Görlitz als Maßstab der Mitteleuropäischen Zeit (MEZ). So beschlossen es die Gesetzgeber am 12. März 1893. Die Eisenbahn benutzte schon ab dem 30.07.1890 die MEZ.

Großbritannien: Seit 01.01.1880 GMT
Belgien: Seit 01.05.1891 GMT
Dänemark: Seit 01.01.1894 MEZ

http://www.themamundi.de/aws/tabel/tbzone.htm http://www.willi-stengel.de/page5.htm http://www.uhrzeit.org/technik.html http://www.surveyor.in-berlin.de/himmel/himmel.04.11.html#gmt

Einführung der Universal Time “UT”

1926 wird die GMT durch die UT abgelöst.

Die UT wird vermittels einer festgelegten Formel aus der Sternzeit berechnet.
Die Sternzeit wird durch astronomische Beobachtungen ermittelt.
Eine Sekunde als der 86400. Teil eines Tages ist wegen der Schwankungen der Tageslänge auch eine entsprechend leicht schwankende Zeiteinheit.

Atomzeit

Am 06.12.1946 stellt der amerikanische Physiker Willard F. Libby seine Atomuhr öffentlich vor. Seine Erfindung, die eine sehr genaue Zeitbestimmung möglich macht, weil sie in 300.000 Jahren weniger als eine Sekunde nachgeht, zählt die eigenen Schwingungen des Cäsium Atoms.

Zur Weiterentwicklung des Metrischen Systems wurde die Generalkonferenz für Maße und Gewichte (Conférence Générale des Poids et Mésures, CGPM) geschaffen. Die 11. CGPM beschloss 1960, daß das SI (Internationales Einheitensystem, Systéme International d’Unités) als Einheitensystem für die Mitgliedsstaaten der Meterkonvention angenommen werden soll. Das SI ist inzwischen in über 100 Staaten verbindlich eingeführt. In Deutschland wurde das SI mit Wirkung vom 1.1.1978 im amtlichen und geschäftlichen Verkehr obligatorisch.

Im Oktober 1967 erfolgte die Neudefinition der Sekunde durch die 13. Generalkonferenz für Maß und Gewicht (CGPM) in Paris. Die “SI-Sekunde” wird nun durch die Schwingungen des in der Atomuhr (Libby 1946) verwendeten Caesiums definiert:
“Die Sekunde ist das 9 192 631 770fache der Periodendauer der dem Übergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandes von Atomen des Nuklids 133Cs entsprechenden Strahlung.”

1969 nimmt die Physikatisch Technische Bundesanstalt “PTB” in Braunschweig die erste Atomuhr CS1 (Caesium-Eins) in Betrieb.

Am 01.01.1972 wird die Universal Time UT durch die Universal Time Controlled UTC abgelöst. UTC verwendet als Sekundenlänge nicht mehr den 86400. Teil eines Tages (so die UT-Definition von 1926), sondern die SI-Sekundenlänge (“Atomsekunde”). Damit die Abweichung zwischen UT (genauer UT1) und UTC immer kleiner als 0,9 s bleibt, wurde die UTC bereits um 10 Sekunden versetzt gegenüber der Atomzeit (TAI) gestartet. Danach werden bei Bedarf Schaltsekunden in die UTC ein- oder ausgefügt (bisher 22 Sekunden). Damit differieren UTC und Atomzeit (TAI) bis Mitte 2003 bereits um 32 Sekunden.

Zum Ausgleich der gravitativen Zeitdilatation wird an den Gängen der primären Atomuhren, die in der Höhe h über dem Geoid aufgestellt sind, eine Korrektion von -1,09·10-16·(h/m) angebracht. Für die Atomuhren der PTB beispielsweise, die auf einer Höhe von h = 75 m über dem mittleren Meeresspiegel aufgestellt sind, beträgt die entsprechende relative Korrektur -8,2·10-15. Damit wird also berücksichtigt, dass die in der Atomuhrenhalle der PTB realisierten Sekundenintervalle um 8,2·10-15 s kürzer sind als bei einer auf dem Geoid aufgestellten Uhr.

PTB Physikalisch Technische Bundesanstalt

GPS Global Positioning System

Das Global Positioning System GPS besteht aus einem Netz von Erdsatelliten in ca. 12-stündigen Umlaufbahnen. Jeder Satellit hat eine Atomuhr an Bord.

1978 Start des ersten Satelliten für den Aufbau des GPS.

Gerade das GPS-System liefert heute ein Argument dafür, die Schaltsekunden aufzugeben und die reine Atomzeit (TAI) als Weltzeit zu definieren: Bei der notwendigen sorgfältigen Synchronisation der GPS-Satelliten wurden die Schaltsekunden nicht berücksichtigt. Seit Einführung von GPS im Jahr 1980 hat sich die Differenz zwischen der internen GPS-Zeit und der offiziellen Weltzeit UTC auf 13 Sekunden aufsummiert. Eine versehentliche Verwechslung der Zeiten, etwa bei der Navigation von Flugzeugen, könnte zu Katastrophen führen.

Quellen und weiterführende Links

Quill, H. 1966 John Harrison. The Man Who Found Longitude. John Baker Publishers. London.
Williams, J.E.D. 1992 From Sails to Satellites. The Origin and Development of Navigational Science. Oxford University Press. Oxford.
Jonathan Medwin: The Discovery of Longitude: An Historical Account of Maritime Navigational Practice and the subsequent invention of the Chronometer http://rubens.anu.edu.au/student.projects97/naval/
Bilder http://www.freeimages.co.uk
Kalender http://www.wispor.de/wpx-kal.htm
http://www.metaresearch.org/cosmology/gps-relativity.asp
http://www.schmuckecke.de/geschichte/chronik.html
GPS und Einstein: Chip_Oktober_2005_111_GPS.pdf

Stoffsammlung

Erst wurden nur in Klöstern die mechanischen Räderuhren verwendet. Ihre großen Gewichte dienten nicht nur zum Antrieb, sondern sie dienten auch dazu, die Mechanik des Stundenschalges anzutreiben.

Die von den Babyloniern erfundene Wasseruhr wurde von den Ägyptern übernommen und später von den Griechen und den Römern immer mehr verbessert. Die Griechen benutzen ihre verfeinerten Wasseruhren im täglichen Gebrauch. Diese Uhren waren genauer, doch auf Reisen waren sie einfach nicht zu gebrauchen.

Die Babylonier gaben dem Tag seine 24 Stunden zu 60 Minuten. Bei den Ägyptern wie bei den Römern hatte der Tag 12 Stunden, genauso wie die Nacht. Doch im Sommer waren die Tage länger und die Nächte kürzer. Umgekehrt im Winter: Die Tagstunden waren kürzer, während die Nachtstunden länger waren. Stunde war also eine ziemlich variable Einheit.

One of the scientific instruments that the conquering Europeans were eventually to develop as a direct result of their conquests and exposure to new learning was the Sea Astrolabe. Developed about 1470 the Sea Astrolabe was based on the design of the much earlier planispheric astrolabe, which had its origins with the Greek philosophers and astronomers immediately prior to the European conquest which had ended the Dark Ages. The Sea Astrolabe was used to plot the attitude of the sun near the meridian. It came into use on ships – the Spanish Armada (1588) carried it (Turner, 1980:31).

By 1726 James and John Harrison had manufactured two clocks which lost no more than one second a month. This was a remarkable achievement and advanced far beyond any existing technologies of the day (Quill, 1966:8).

— Main.DietrichKracht – 11 Apr 2004

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