Schon seit Jahrhunderten kennt man den Kompass, dessen Magnetnadel sich in die Richtung des Magnetfeldes der Erde ausrichtet.
Ein “Magnet” erzeugt ein Magnetfeld. Wenn ich in ein solches Magnetfeld einen kleinen “Probemagneten” einbringe, so übt das magnetische Feld eine magnetische Kraft auf diesn kelinen “Probemagneten” aus…
Dann hätte man in Analogie zum elektrischen Feld:
magnetische Materialien, etwa einen Dauermagneten,
elektrische Ströme, z. B. eine stromdurchflossene Spule oder
zeitliche Änderung eines elektrischen Feldes.
Die Definition eines magnetischen Feldes \( \vec{B} \) kann man durch folgende Formel erreichen:
\( \vec{F} = q \cdot \vec{v} \times \vec{B} \)
Dabei bewegt sich eine elektrische Ladung (q) mit der Geschwindigkeit \( \vec{v} \) und erfährt eine Kraft von \( \vec{F} \), die durch das Magnetfeld \( \vec{B} \) hervorgerufen wird.
Historisch gesehen gibt es den Begriff der “Feldstärke” beim Magnetfeld nicht. Wir haben aber eine Größe “Magnetische Flußdichte”, die soetwas ähnliches ist.
Eine besonders einfache Situation ist ein gerader elektrischer Leiter, der von einem konstanten elektrischen Strom durchflossen wird – das wurde schon von Hans Christian Oersted (1777-1851) untersucht. Für einen Strom der Stärke I durch den Leiter bekommen wir im Abstand r ein Magnetfeld von:
in welchen Masseinheiten misst man ein Magnetfeld (Tesla, Gauß,…) ?
Eigentlich haben wir nur magnetische Dipole
Die sog. Lorentzkraft – Elektromagnetismus
Auf eine mit der Geschwindigkeit v bewegte elektrische Ladung q wirkt im elektromagnetischen Feld eine Kraft. Für diese sog. Lorentzkraft haben wir die Formel:
In der Elektrostatik werden ruhende und zeitlich unveränderliche Elektrische Felder beschrieben.
Die physikalische Größe elektrische Feldstärke (E) beschreibt die Stärke und Richtung eines elektrischen Feldes, also die Fähigkeit dieses Feldes, Kraft (F) auf Ladungen (q) auszuüben. Sie ist ein Vektor und ist in einem gegebenen Punkt definiert durch:
\( \Large \vec{E} = \frac{\vec{F}}{q} \\\ \)
Die Maßeinheit der Elektrische Feldstärke ist also Newton / Coulomb, was das Gleiche ist wie V / m.
Bewegtes Elektrisches Feld
Laut Wikipedia ist die klassische Elektrodynamik (auch Elektrizitätslehre) das Teilgebiet der Physik, das sich mit bewegten elektrischen Ladungen und mit zeitlich veränderlichen elektrischen und magnetischen Feldern beschäftigt. Die Elektrostatik als Spezialfall der Elektrodynamik beschäftigt sich mit ruhenden elektrischen Ladungen und ihren Feldern. Die zugrundeliegende Grundkraft der Physik heißt elektromagnetische Wechselwirkung.
Analogie: Gravitationsfeld
Analog müssten wir für das Gravitationsfeld einer Punktmasse M die Gravitationskraft (F) durch die “Probemasse” m dividieren, um die “Gravitationsfeldstärke” g zu erhalten:
\( \Large \vec{g} = \frac{\vec{F}}{m} = G \frac{M}{r^2} \\\ \) (in radialer Richtung)
Diese “Gravitationsfeldstärke” wird aus historischen Gründen “Gravitationsbeschleunigung” genannt.
Analogie: Magnetisches Feld
Auch beim Magnetismus stellt man sich ein Kraftfeld vor: das Magnetische Feld…
Elektrostatik: Coulombsches Gesetz
Das Elektrische Feld einer Punktladung q ist:
\( \Large E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{r^2} \\\ \) (in radialer Richtung)
Daraus ergibt sich das sog. Coulombsche Gesetz für die Anziehungskraft zweier elektrischer Ladungen:
Öfters habe ich schon Vorlesungen auf dem Youtube-Kanal von Prof. Dr. Weitz von der Hamburger Hochschule für Angewandte Wissenschaften (“HAW” – früher: Fachhochschule Berliner Tor) gehört.
Er arbeitet da mit Computer-Software wie:
MATLAB
Mathematica, was sehr teuer ist. Kann CDF-Dateien erzeugen, die mit einem CDF Player abgespielt werden können
Unter dem Begriff “Alpaca” wird seit einiger Zeit mit ASCOM über Netzwerk also in Client/Server-Architektur herumgefummelt.
Seit der ASCOM Version 6.5 ist Alpaca unter dem Namen “ASCOM Remote” offiziell dabei. Den sog. “ASCOM Remote Server” muss man zusätzlich zur ASCOM Platform herunterladen und installieren. ASCOM Remote Clients benötigt man bei der Version 6.5 nicht mehr zusätzlich; solche Clienets sind als sog. “dynamic clients” in der ASCOM Platform enthalten.
Meine vorhandenene Remote-Lösung mit Windows-Computern und VNC
Ich habe am Teleskop (also im Felde) einen kleinen Nano-Computer von Zotex namens “ZBox01”. Dieser Computer läuft unter Windows 10 Professionel. An diesen Computer sind alle Astro-Geräte angeschlossen und auf diesem Computer läuft meine komplette Astro-Software. Schlussendlich ist dieser kleine lokale Computer in meinem häuslichen Netzwerk eingebunden und ein VNC Server läuft darauf zwecks Bedienung per Remote Control.
Mein “Bedien-Computer” ist in der warmen Stube und ebenfalls mit meinem häuslichen Netzwerk verbunden. Auf diesem Computer ist keine Astro-Software installiert; lediglich per VNC Client kann ich mich auf den draussen am Teleskop befindlichen Nano-Computer aufschalten und ihn “remote” bedienen.
Diese Lösung gefiel mich von der Architektur her eignetlich nicht so sehr – schließlich muss der Nano-Computer draussen am Teleskop die ganze Arbeit machen. Aber diese Architektur ist total simpel und hat keine zusätzliche Komplexität und keine zusätzlichen Fehlermöglichkeiten.
Bekannte Schwachstellen meiner oben beschriebenen Remote-Lösung können sein:
Der draussen befindliche Nano-Computer muss stabil mit dem Nerzwerk verbunden sein (WLAN oder Kabel)
Der Remote Desktop Mechanismus muss stabil funktionieren. Ich verwende Tight VNC (nicht TeamViewer und auch nicht Microsoft Remote Desktop)
Die Video-Übertragung vom Nano-Computer über VNC auf den häuslichen Computer muss leistungsfähig genug sein (für das, was ich astronomisch machen möchte)
Da ich nun von dem neuen ASCOM Remote gehört habe, möchte ich das einmal ausprobieren – vielleicht ist das ja auch für mich die Zukunft. Vom Grundsatz erkenne ich bei ASCOM Remote Server schon einmal folgende Restriktionen:
Astro-Geräte werden nur über die ASCOM-Treiber angesprochen (sog. “native” Treiber gehen nicht)
Eine Video-Übertragung ist (zur Zeit?) nicht möglich
ASCOM Remote: Installation und Konfiguration
Wie man ASCOM Remote auf so einer reinen Windows-Landschaft (wie oben beschrieben) aufbaut, habe ich den begeisterten Videos der ASCOM-Super-Freaks (z.B. der gute Robert B. Denny) leider nicht entnehmen können. Folgendes habe ich dann aber durch Trail and Error herausfinden können:
Auf dem Nano-Computer (=”Server”)
ASCOM Remote Server auf dem Nano-Computer installieren. Der heist bei den ASCOM-Freaks jetzt “der Server”.
Auf diesem (kleinen) Server auch die ASCOM-Platform 6.5 installieren
Auf diesem (kleinen) Server auch die ASCOM-Treiber meiner Astro-Geräte instllieren (HEQ5 Pro, GP-CAM, ZWO ASI 294MC Pro, PegasusAstro Dual Mode Focusser)
Astro-Geräte mit dem (kleinen) Server per Kabel verbinden
Den ASCOM Remote Server auf dem Nano-Computer starten
Nun Klicken wir auf die Schaltfläche “Properties” und es erscheint das Konfigurations-Fenster für eine Kamera – evtl. sieht man dieses neue Fenster nicht, wenn es hinter anderen größeren fenstern versteckt ist…
Abbildung 2: ASCOM Camera Chooser Properties (pCloud: ASCOM_Remote_12.jpg)
Erst wenn wir dieses Fenster gefunden haben und dort auf “OK” geklickt haben, geht es weiter. Das Fenster schießt sich und das kleine Fenster des ASCOM Camera Choosers wird wieder sichtbar.
Und es passiert nichts, und wir warten, und es passiert nichts.
Erst wenn wir in diesem keinen Fenster des “ASCOM Camera Choosers” erneut auf “OK” klicken geht es wirklich weiter.
Dann sehen wir in unserer Astro-Software (hier im Beispiel APT) wie sich die Astro-Geräte am Nano-Computer (der “Server”) mit der Astro-Software auf dem häuslichen Bedien-Computer (der “Client”) verbinden:
Telekommunikation: Mobiltelefon Samsung Galaxy S3 mini
Die Situation
Ein schönes altes Mobiltelefon SmartPhone Samsung Galaxy S3 mini habe ich in 2020 “geerbt”.
Die nicht mehr in Benutzung befindlichen Mobiltelefone liegen bei mir in einer Schublade.
Fakten zum Galaxy S3 mini
Aufladen: über Micro-USB-Anschluss (unten, Mitte)
Anschalten: Knopf rechts, halb hoch
Akku: 1500 mAh bei 3,7 V – Li Polymer einfach wechselbar
Betriebssystem: Android 4.1.2 Jelly Bean
Prozessor: ST-Ericsson NovaThor U8500 taktet mit 1,2 GHz. (vor Qualcomm)
Gerätespeicher (intern): 8 GB
Externer Speicher: bis zu 32 GB mit microSD-Karte (intern)
Die Wellengleichung, auch D’Alembert-Gleichung nach Jean-Baptiste le Rond d’Alembert (1717-1783), bestimmt die Ausbreitung von Wellen wie etwa Schall oder Licht.
Wenn das Medium oder Vakuum die Welle nur durchleitet und nicht selbst Wellen erzeugt, handelt es sich genauer um die homogene Wellengleichung, die lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung
für eine reelle Funktion u (t, x1, x2,…,xn) der Raumzeit.
Hierbei bedeutet u die Auslenkung der Welle zur Zeit t am Ort x=(x1, x2,…,xn) und n die Dimension des Raumes.
Der Parameter c ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle, also bei Schall (im homogenen und isotropen Medium) die Schallgeschwindigkeit und bei Licht die Lichtgeschwindigkeit.
Die eindimensionale Wellengleichung
Im einfachen Fall nur einer Raumdimension (n=1) bekommen wir als Wellengleichung:
Wobei A die Amplitude und λ die Wellenlänge sein soll.
Manchmal benutzt man auch die sog. Wellenzahl \( k = \frac{1}{\lambda} \).
Eine einfache Lösung der Wellengleichung im eindimensionalen Raum wäre (mit A=1, λ = 2π):
\( u(t,x) = \sin(x + ct) \)
Also eine eindimensionale Wellenfunktion.
Ebene Wellen
Eine ebene Welle ist eine Welle im dreidimensionalen Raum, deren Wellenfronten (d.h. Flächen gleichen Phasenwinkels) parallele Ebenen bilden. Die Ausbreitungsrichtung der Welle steht senkrecht dazu. Diese Richtung ist also räumlich konstant.
Siehe auch: Kugelwelle
Transversal – Longitudinal – Polarisierung
Eine Transversalwelle (Quer-, Schub- oder Scherwelle) ist eine Welle, bei der die Schwingung senkrecht zu ihrer Ausbreitungsrichtung erfolgt. Das Gegenteil ist eine Longitudinalwelle (Längswelle), bei der die Schwingung in Richtung der Ausbreitungsrichtung stattfindet.
Transversalwellen sind polarisierbar, da die Schwingung in der gesamten Ebene möglich ist, die senkrecht auf ihrer Ausbreitungsrichtung steht.
Stehende Wellen
Ein wichtiger Spezialfall sind sog. “Stehende Wellen”. Sie haben Knoten und Bäuche.
An einem festen Ende ist immer ein Knoten (Auslenkung Null) und an einem offenen Ende ist immer das Maximum eines Bauches.
Betrachten wir zwei feste Enden, so ist für die Gundschwingung: \( \frac{\lambda}{2} = L \) und die Oberschwingungen ungerade Vielfache von lambda/2.
Diesen Blog-Artikel schreibe ich ausschließlich zu meiner persönlichen Dokumentation; quasi als mein elektronisches persönliches Notizbuch. Wenn es Andere nützlich finden, freue ich mich, übernehme aber kleinerlei Garantie für die Richtigkeit bzw. die Fehlerfreiheit meiner Notizen. Insbesondere weise ich darauf hin, dass jeder, der diese meine Notizen nutzt, das auf eigene Gefahr tut. Wenn Podukteigenschaften beschrieben werden, sind dies ausschließlich meine persönlichen Erfahrungen als Laie mit dem einen Gerät, welches ich bekommen habe.
Die Thermodynamik oder Wärmelehre ist eine natur- und ingenieurwissenschaftliche Disziplin. Das hauptsächliche Thema ist das Studium der Dampfmaschinen und die Frage, wie man Wärme in mechanische Arbeit umwandeln kann.
In der Thermodynamik (=Wärmelehre) werden wir erstmals irreversible Prozesse sehen. So etwas gab es in der klassischen Mechanik nicht.
Es gibt zwei Ansätze in der Thermodynamik: die statistische Sicht und die phänomenologische Sicht. Statistisch werden ganz viele “Mikrozustände” betrachtet – Phänomenologisch geht es um die nach außen sichtbaren “Makrozustände”. Generell geht man davon aus, das sich die Mikrozustände in gewisser Weise vollkommen ungeordnet, eben stochastisch, verhalten.
Die physikalische Größe “Temperatur” wird in der Thermodynamik neu in die Physik eingeführt und ist eben eine “makroskopische” Größe.
Ausserdem wird eine weitere physikalische Größe, die “Entropie” eingeführt, die sehr schwer zu verstehen ist (dazu weiter unter: Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik).
Phänomenologisch beschreiben wir den Zustand eines Systems oft durch die physikalischen Größen Volumen, Druck und Temperatur (sog. Zustandsgrößen). Ein und der gleiche so beschriebene phänomenologischer Zustand kann dann aber durch viele unterschiedliche “mikroskopische” Zustände zustande kommen – eben statistisch.
Zustandsgrößen
Eine Zustandsgröße ist eine physikalische Größe, die – ggf. zusammen mit anderen – den Zustand eines physikalischen Systems zu einem gegebenen Zeitpunkt beschreibt und zwar unabhängig davon, auf welchem Wege er zustande gekommen ist; also unabhängig von der “Vorgeschichte” des Systems.
So sind beispielsweise Druck und Temperatur klassische Zustandsgrößen, aber die physikalische Größe “Arbeit” nicht. Letztere bezeichnet man dann als sog. “Prozessgröße”.
Bringt man zwei Körper unterschiedlicher Temperatur zueinander in Kontakt, so stellt sich nach einer gewissen Zeit ein sog. “thermodynamisches Gleichgewicht” ein. Dann sind die Temperaturen beider Körper gleich.
So können wir schon einmal sagen, wann zwei Temperaturen gleich sind, aber haben noch keine Messskalen.
Temperatur – Messung der Temperatur
Die Temperatur ist eine Basis-Einheit des SI-Systems. Historisch wurde die Temperaturskala durch bestimme Fixpunkte festgelegt zwischen denen man dann interpolieren musste.
Als solche Fixpunkte hatte man benutzt Schmelzpunkte bzw. Gefrierpunkte von Wasser, Wasserstoff, Gold etc. Später ging man auch dazu über sog. Trippelpunkte als Fixpunkte zu benutzen.
Zur Interpolation zwischen solchen Fixpunkten nutzt man temperaturabhängege Eigenschaften von Körpern; wie z.B. die Längenausdehnung eines Metallstabes oder die Volumenausdehnung von Flüssigkeiten.
1948 wurde durch die 9. Generalkonferenz für Maß und Gewicht (CGPM) festgelegt, dass eine absolute thermodynamische Skala den Tripelpunkt des Wassers als einzigen fundamentalen Fixpunkt haben sollte. Vor allem die starke Abhängigkeit des Siedepunkts vom Luftdruck hatte die Temperatureichung über die bisherigen Fixpunkte schwierig gemacht. Der Tripelpunkt hingegen war leicht und eindeutig reproduzierbar.
1954 wurde das Kelvin von der CGPM in der bis zum 19. Mai 2019 gültigen Form definiert und zur Basiseinheit erklärt. Dadurch bekam zugleich das Grad Celsius eine neue Definition. Die Bezeichnung war zunächst „Grad Kelvin (°K)“ und wurde 1967 auf „Kelvin (K)“ geändert. Die Definition lautete seitdem: „Das Kelvin, die Einheit der thermodynamischen Temperatur, ist der 273,16-te Teil der thermodynamischen Temperatur des Tripelpunktes des Wassers.“.
2019: Anbindung an die thermische Energie: Die thermodynamische Temperatur ist direkt proportional zur thermischen Energie, mit der Boltzmann-Konstanten als Proportionalitätsfaktor (1.380649 * 10–23 Joule/Kelvin). Solange die Einheiten von Energie (Joule) und Temperatur (Kelvin) unabhängig voneinander definiert waren, musste die Boltzmann-Konstante experimentell bestimmt werden. Diese Messungen wurden im Laufe der Zeit immer präziser und erreichten schließlich die Genauigkeit der Realisierung des Kelvin über den Tripelpunkt des Wassers. Damit war die Existenz zweier konkurrierender Definitionen nicht mehr zu rechtfertigen. Der Boltzmann-Konstanten wurde ein fester Wert in der Einheit J/K zugewiesen und das Kelvin dadurch direkt an das Joule gekoppelt. Der Wert der Boltzmann-Konstanten, die seitdem ein nur durch Konvention festgelegter Skalierungsfaktor ist, wurde so gewählt, dass das neue Kelvin möglichst genau mit dem alten übereinstimmte. Diese Änderung trat mit der Revision des Internationalen Einheitensystems am 20. Mai 2019 in Kraft.
Adiabatischer Prozess
Das Wort adiabatisch beschreibt in der Thermodynamik einen Prozess (eine Zustandsänderung), bei dem ein System keine Wärme mit seiner Umgebung austauscht. Das System ist also thermisch isoliert, sodass Änderungen nur durch Arbeit (z. B. Kompression oder Expansion) und nicht durch Wärmezufuhr oder -abgabe erfolgen.
Bei einer adiabatischen Zustandsänderung bleibt die zugeführte oder abgegebene Wärme ΔQ = 0.
Erster Hauptsatz der Thermodynamik
Der 1. Hauptsatz der Thermodynamik ist eine besondere Form des Energieerhaltungssatzes aus der Mechanik. In Worten bedeutet dies: Die Änderung der inneren Energie eines geschlossenen Systems ist gleich der Summe der Änderung der Wärmemenge und der Änderung der Arbeit.
In Formeln kann man das so ausdrücken:
\( \Delta U = \Delta Q + \Delta W \)
wobei:
U innere Energie des Systems
Q der Wärmeinhalt (Wärmemenge) des Systems – positiv, wenn dem System zugeführt – negativ, wenn aus dem System abgeführt
W die vom System geleistete mechanische Arbeit – positiv, wenn dem System zugeführt – negativ, wenn nach außen geleistet
Zweiter Haupsatz der Thermodynamik
Vorzugsrichtung von Prozessen. Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik in der Formulierung von Rudolph Clausius (1822-1888) lautet: „Es gibt keine Zustandsänderung, deren einziges Ergebnis die Übertragung von Wärme von einem Körper niederer auf einen Körper höherer Temperatur ist.
Zustandsveränderungen können reversibel (wie in der klassischen Mechanik) oder irreversibel sein. Irreversible Prozesse laufen nur in einer Richtung ab und nicht umgekehrt. Bei reversiblen Prozessen bleibt die Entropie gleich, bei irreversiblen Prozessen nimmt die Entropie zu.
Der Zweite Hauptsatz der Thermodynamik kann mit Hilfe des Begriffs der Entropie auch so formuliert werden, dass die Entropie (eines geschlossenen Systems) niemals abnehmen kann.
Damit bekommt die Zeit eine Richtung.
Ideale Gase
Das Einfachste, mit dem sich die Thermodynamik gern befasst, sind die sog. Idealen Gase.
Boltzmann
Der österreichische Physiker Ludwig Boltzmann (1844-1906) beschreibt mit seiner “Boltzmann-Gleichung” die Dynamik eines idealen Gases und definiert die physikalische Größe Entropie über Mikro- und Makro-Zustände…
Thermodynamische Zustandsänderungen
Ein thermodynamischer Prozess kann zu einer thermodynamischen Zustandsänderung führen. Solche Zustandsänderungen (Prozesse) können reversibel oder irreversibel sein.
Zustandsgrößen beschreiben den Zustand eines thermodynamischen Systems; wobei es egal ist, auf welchem Wege man den betreffenden Zustand erreicht.
Typische Zustandsgrößen sind:
Volumen: V
Druck: p
Innere Energie: U
Entropie: S
Zustandsänderungen eines thermodynamischen Systems werden durch die Veränderung von Zustandsgrößen beschrieben.
Isotherme Zustandsänderung: Keine Temperaturänderung, also T=const. bzw. Δ U = 0
Adiabatische Zustandsänderung: Kein Wärmeaustausch, also Δ Q = 0
Veranschaulichen kann man sich solche Zustandsänderungen gut an einem p-V-Diagramm.
Klassische Definition der Entropie
Schon früher haben wir physikalische Größen kennengelernt, die “unabhängig vom Weg” waren: In einem konservativen Kraftfeld war die Arbeit, die nötig ist, um von A nach B zu kommen weg-unabhängig. Deshalb konnen wir da die potentielle Energie und das Potential einführen.
Analoges macht in der Thermodynamik Rudolf Clausius (1822-1888) mit seiner klassischen Definition der Entropie (Formelzeichen: S). Die Entropie stellt so etwas wie ein Maß für die “Irreversibilität” dar. Die SI-Maßeinheit der Entropie ist Joule/Kelvin.
Zunächst betrachten wir nur Zustandsveränderungen – also Deltas. Damit definieren wir Entropieveränderungen als:
\( \Large \Delta S = \frac{\Delta Q}{T} \)
Der bekannte Carnot’schen Kreisprozess beschreibt im p-V-Diagramm ja eine geschlossene Kurve und ist insgesamt auch reversibel, da er ja aus vier Prozessschritten besteht, wovon jeder einzelne reversibel ist. Unsere Berechnungen des Carnot’schen Kreisprozesses hatten ja für die zwei isothermen Prozessschritte (w=warm, k=kalt) ergeben:
Was uns zu einer generellen Formel (ohne Beweis) führt:
\( \Large \oint_\alpha \frac{d Q}{T} = 0 \)
für reversible Prozesse, die im p-V-Diagramm eine geschlossene Kurve “α” bilden.
In Analogie zum Potentialbegriff in einem Kraftfeld können wir auch hier ein “Potential” definieren, das wir “Entropie S(A)” am Aufsetzpunkt “A” nennen:
\( \Large S(A) = \int_O^A \frac{d Q}{T} \)
Mit einem festzusetzenden Referenzpunkt “O” .
Die physikalische Größe Entropie kann man in diesem Sinne sehr abstrakt definieren. Der Vorteil ist, dass die Entropie nun tatsächlich eine Zustandsgröße ist.
Statistische Definition der Entropie
Ludwig Boltzmann wird 50 Jahre nach Clausius eine schöne statistische Definition der physikalischen Größe Entropie geben.
Ein thermodynamischer Makrozustand (z.B. Druck eines Gases) kann durch sehr viele Mikrozustände der Gas-Moleküle (also Orte und Impulse) realisiert werden. Da wir es mit gigantisch großen Anzahlen von Molekülen zu tun haben setzen wir die Statistik ein und kommen zu Aussagen über Wahrscheinlichkeiten von Anordnungen (oder Unordnungen).
Die klassische Definition der Größe Entropie ist:
\( \Large S = k_B \log{P} \)
Wobei kB die Boltzmann-Konstante ist und P die Wahrscheinlichkeit mit der ein Makrozustand durch Mikrozustände eigenommen wird.
Durch die Benutzung des Logarithmus’ wird die Entropie zu einer richtigen extensiven (d.h. mengenartigen) physikalischen Größe. Wir können Entropie-Mengen sinnvoll addieren.
Die Frage ist dann noch, wo wir den Nullpunkt der Entropie setzen. Dazu hat Max Planck vorgeschlagen dass der Nullpunkt da liegen soll, wo es nur noch einen einzigen Mikrozustand gibt, durch den der Makrozustand realisiert werden kann. Das wäre ein ideales Kristallgitter in absoluter Ruhe. Also bei T=0 soll auch S=0 sein. Statt der Wahscheinlichkeit P benutzen wir dann also die Anzahl Mikrozustände Ω, die den Makrozustand realisieren. Max Planck war es auch, der vorgeschlagen hatte, die in der Formel vorkommende Konstante “Boltzmann-Konstante” zu nennen.
Damit kommen wir zu der berühmten Folmel, die auch auf Boltzmanns Grabstein auf dem Wiener Zentralfriehof steht:
Den Einfluss der Gravitation auf die Metrik (aka Krümmung) der Raumzeit kann man z.B. an einem Schwarzen Loch studieren. Dafür hat Karl Schwarzschild (1873 – 1916) schon einfache Formeln gefunden (als Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen in einem speziellen Fall).
Schwarzschild behandelt das Gravitationsfeld einer Punktmasse bzw. einer homogenen kugelförmigen Masse (nicht rotierend und nicht elektrisch geladen).
Zur Beschreibung werden sich dann besonders gut Kugelkoordinaten eignen.
Schwarzschilds Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen
Hierzu habe ich bei Youtube gefunden:
Die Einsteinschen Feldgleichungen in der Allgemeinen Relativitätstheorie lauten ja bekanntlich (wenn wir den Term mit der kosmologischen Konstante gleich weglassen):
Unter dem “Lösen” dieser Tensor-Gleichung verstehen wir Folgendes: Der Engergie-Impuls-Tensor \( T_{\mu \nu} \) sein irgendwie gegeben, gesucht ist dann der Metrik-Tensor \(g_{\mu \nu} \) wenn wir weiter davon ausgehen, dass der Ricchi-Tensor und der Ricchi-Skalar sich aus dem Metrik-Tensor ergeben.
Bei der sog. Schwarzschild-Lösung betrachten wir nur den Raum ausserhalb eines Massekörpers und gehen davon aus, dass der Energie-Impuls-Tensor dort Null ist; sog. “Vakuum-Lösung”. Wir haben dann also “nur” noch zu lösen:
Da die Spur des Ricchi-Tensors der Ricchi-Skalar ist, bleibt also:
\( \Large R – \frac{1}{2} R \cdot 4 \)
Also ist auch der Ricchi-Skalar Null und es bleibt von der obigen Einsteinschen Feldgleichung nur noch übrig:
\( \Large R _{\mu \nu} = 0 \)
Zur Lösung dieser Gleichung suchen wir also einen Metrik-Tensor \(g_{\mu \nu} \) zu dem wir “Connection Coeffizienten” \( \Gamma_{\mu \nu}^\sigma \) ermitteln können, aus denen sich dann ein solcher Ricchi-Tensor \( R_{\mu \nu} \) ergibt.
Wegen der Kugelsymmetrie sind die Winkel “Länge” und “Breite” uninteressant. Von Interesse ist nur noch die radiale Raum-Dimension r und die Zeit-Dimension t. Ein Raum-Zeit-Diagramm in diesen Koordinaten (r und t) ist also in der linken Hälfte (r < 0) leer und das Metrik-Gitter hätte bei r = RS eine Singularität.
\( ds^2 = c^2 dt^2 – dr^2 \)
Als Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen für den Spezialfall einer einzigen kugelsymmerischen Masse (M) hat Schwarzschild eine Metrik gefunden mit folgendem Linienelement in der radialen Dimension von (für r > RS) :
\( \Large d s^2 = g_{rr} \cdot d r^2 = \frac{1}{1 – \frac{R_S}{r}} \cdot d r^2 \)
Mit dem Schwarzschild-Radius von:
\( \Large R_S = \frac{2 \cdot G \cdot M}{c^2} \\ \)
Anders als beim Euklidischen Linienelement ist hier der Vorfaktor grr (Element im Metrik-Tensor g) nicht mehr konstant, sondern seinerseits eine Funktion von r.
In dieser Metrik (Schwarzschild-Metrik) wäre also der Abstand von r1 bis r2 nicht r2 – r1 sondern größer; nämlich:
\( \Delta R = \Large \int\limits_{r_1}^{r_2} \frac{dr}{\sqrt{1 – \frac{R_S}{r}}} = \left[ r \sqrt{1 – \frac{R_S}{r}} + \frac{R_S}{2} \ln{\frac{1+\sqrt{1-\frac{R_S}{r}}}{1-\sqrt{1-\frac{R_S}{r}}}} \right]_{r_1}^{r_2} \)
Sind Koordinaten für die Schwarzschild-Metrik, die am Ereignishorizont (r=RS) nicht singulär werden und deswegen gern für die Beschreibung Schwarzer Löcher eingesetzt werden.
Von Arstoteles zur Stringtheorie
Herr Gassner beschreibt in seinem Youtube-Video “Von Aristoteles zur Stringtheorie – Folge 20” als Linienelement:
Damit reduzieren wir die Koordinaten auf nur eine Raum-Koordinate und die Zeit-Koordinate, wie wir das weiter unten auch vollständig analytisch aus dem Schwarzschild-Tensor ableiten.
Im obigen Papier wird eine “Senkrechte” betrachtet und das Linienelement der Schwarzschild-Metrik bestimmt. Wenn man dieses Linienelement integriert (numerisch) und dem Euklidischen Abstand gegenüberstellt, bekommt man folgendes Bild:
Ein erster Schritt zum Verständnis ist der Begriff der “Metrik”, der zwei Punkten in einem Vektorraum (oder auch Riemann Raum) einen Abstand zuordnet.
Man sagt auch, dass ein Raum durch eine Metrik eine “Geometrie” bekommt und spricht so vom “Euklidischen Raum” bzw. der “Euklidischen Geometrie”, wenn man die “Euklidische Metrik” verwendet.
Allgemein definiert man den Abstand zweier Punkte \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) im Vektorraum durch die Länge der Differenz:
Der “Metriktensor” ist ganz einfach eine Matrix mit deren Hilfe wir die Länge eines jeden Vektors definieren können. Beispielsweise in einem drei-dimensionalen Koordinatensystem:
Nicht jede belibige solche Matrix (Tensor) definiert eine Metrik. Die definierte Metrik muss (1) unabhängig vom Koordinatensystem sein (2) Die definierte Metrik muss den allgemenen Metrik-Axiomen genügen.
Mit Hilfe eines solchen Metriktensors definieren wir dann die Länge des Vektors \(\vec{x}\) ganz einfach als Matrixprodukt:
Oder als Linienelement geschrieben heisst das (mit Einsteinscher Summenkonvention):
\(d s^2 = dx^i \cdot dx^j \cdot g_{ij} \\ \)
So ein infenitesimales Linienelement brauchen wir immer dann, wenn die gij nicht konstant sind, sondern noch von den Koordinaten xi in irgendeiner Form abhängen (also ortsabhängig). Wir müssten dann nämlich ggf. integrieren…
Je nach Koordinatensystem wird die Euklidische Metrik wird durch andere Metriktensoren definiert.
In Chartesischen Koordinaten wäre der Metriktensor für die Euklidische Metrik/Geometrie (also das Kronecker Delta)…
Je nach dem, welches Koordinatensystem wir wählen, bekommen wir einen anderen Metriktensor, denn die Basisvektoren sind ja die Tangenten an die Koordinatenlinien.
Beispielsweise haben wir:
In Polar-Koordinaten \((r, \vartheta) \) wäre der Metriktensor für die Euklidische Metrik/Geometrie:
Schon bei diesem einfachen Beipiel sehen wir, das die Komponenten des Metriktensors nicht konstant sind, sondern vom Punkt im Raum abhängig sind.
Das Linienelement wäre dann:
\(d s^2 = dr^2 + r^2 \cdot d \vartheta^2 \\ \)
In Zylinder-Koordinaten \((r, \vartheta, z) \) wäre der Metriktensor für die Euklidische Metrik/Geometrie:
\(d s^2 = dr^2 + r^2 \cdot d \vartheta^2 + r^2 \cdot (\sin{\vartheta})^2 \cdot d \varphi^2\\ \)
Schwarzschild-Metrik für die Dimension “Senkrechte”
Wenn wir die “Raumkrümmung” durch eine (große) Masse verstehen wollen, können wir am einfachsten mit einem sog. “Schwarzen Loch” anfangen, denn da hat Karl Schwarzschild (1873 – 1916) schon eine Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen für uns parat.
Die Schwarzschild-Metrik wird klassischerweise in Kugelkoordinaten dargestellt. Zur Vereinfachung wollen wir zunächst nur eine (Raum-)dimension betrachten: den Abstand r gemessen vom Mittelpunkt eines Objekts mit dem Radius RS. Dieses r bezeichnen wir als “die Senkrechte”.
Der Schwarzschild-Radius eines jeden Objekts der Masse M (in der Senkrechten) berechnen wir zu:
\( R_S = \frac{2 \cdot G \cdot M}{c^2} \\ \)
Dazu müssen wir den Metriktensor bestimmen.
\( g_{rr} = \frac{d s^2}{d r^2} \)
Von dieser unbekannten Funktion können wir uns zwei Werte leicht klar machen:
Bei r gegen unendlich geht der Wert gegen 1.
Bei r gegen RS geht der Wert gegen unendlich.
Diese beiden Eigenschaften hat folgende Funktion (geraten bzw. als “Regression” durch zwei Punkte konstruiert):
Wenn man dabei jetzt nur die ersten beiden Dimesionen, also die Zeit und den radialen Abstand vom Mittelpunkt betrachte, also die Winkel \(\varphi\) und \(\vartheta\) ausser acht lässt; d.h. konstant lässt, erhält man als so vereinfachjte Sicht:
Damit haben wir die Schwarzschild-Metrik auf eine Raumdimension (r) und die Zeitdimension (ct) reduziert und können uns an einem zweidimensionalen Raum-Zeit-Diagramm verdeutlichen, was da bei einem Schwarzen Loch nach Schwarzschild geschieht.
Diesen Blog-Artikel schreibe ich ausschließlich zu meiner persönlichen Dokumentation; quasi als mein elektronisches persönliches Notizbuch. Wenn es Andere nützlich finden, freue ich mich, übernehme aber kleinerlei Garantie für die Richtigkeit bzw. die Fehlerfreiheit meiner Notizen. Insbesondere weise ich darauf hin, dass jeder, der diese meine Notizen nutzt, das auf eigene Gefahr tut. Wenn ich Podukteigenschaften beschreibe, sind dies ausschließlich meine persönlichen Erfahrungen als Laie mit dem einen Gerät, welches ich bekommen habe.
Das Besondere der Erkenntnis von Newton ist nicht nur die Formulierung als eine einzige Formel, sondern auch, dass die Gravitationskraft zwischen allen Körpern im Universum wirkt. Beispielsweise kreisen die Jupitermonde gemäß diesem Gesetz um den Jupiter und ebenfalls kreisen Doppelsterne etc. aufgrund der Gravitation umeinander…
Zu den Zeiten Newtons beschäftigte sich die Physik in der Hauptsache und fast ausschließlich mit Mechanik. Newton (und Leibnitz) entwickelten die Infenitesimalrechung (engl. Calculus) mit der die Bewegung mechanischer Systeme durch die Wirkung von Kräften berechenbar gemacht werden konnte. Siehe dazu mein separater Artikel Newtonsche Mechanik.
Isaac Newton hat auch sehr viel über das Licht geforscht. Stichworte dazu wären: Teilreflektion, Newtonsche Ringe,…
Die Größe der Gravitationskonstante G wurde erst viel später durch das berühmte Experiment “Gravitationswaage” von Henry Cavendish (1731-1810) bestimmt.
Eine ähnliche Formel wie hier für die Gravitationskraft zwischen zwei Massen haben wir in der Elektrostatik für die Elektrische Kraft zwischen zwei elektrischen Ladungen: Das Coulomb-Gesetz.
Gravitationspotential
Kraftfelder, wie das der Gravitation, können wir durch das zugehörige Potential-Feld beschreiben.
In einem sog. “konservativen” Kraftfeld \( \vec{F}(r) \) können wir eine Potentielle Energie (bzw. ein Potential) definieren. Der Begriff konservativ bedeutet dabei, dass der Energieerhaltungssatz gilt. Die entlang eines Weges im Kaftfeld geleistete Arbeit ist unabhängig vom Weg und nur vom Anfangs- und Endpunkt des Weges abhängig. So kann eine skalares Feld, das Potential, definiert werden.
Ist das betrachtete Kraftfeld das Gravitationsfeld einer ruhenden Masse M, so ist das “Gravitationspotential” einfach:
\( \Large\Phi(r) = \space – G \frac{M}{r} \\ \)
Ist das betrachtete Kraftfeld das Elektrische Feld einer ruhenden elektrischen Ladung Q, so ist das “Coulomb-Potential” einfach:
Strenggenommen gilt das bisher Gesagte nur für punktförmige Massen. Bei räumlich ausgedehnter Massenverteilung hat man ja eine Dichteverteilung also ρ(r) und muss die Poisson-Gleichung (Siméon Denis Poisson 1781-1840) verwenden:
\( \Large\Delta \Phi(r) = 4 \pi G \rho(r) \\\)
Wobei Δ der Laplace-Operator ist. Also Δ f = div (grad f).
Die Lösung der Poisson-Gleichung eine nur einer Dimension x ist einfach:
\( \Large\Delta \Phi(x) = div (grad \, \Phi(x)) = 4 \pi G \, div(grad \,\rho(x))) = 4 \pi G \frac{d^2\rho}{dx^2}\\\)
Durch zweifache Integration erhält man die Lösung:
\( \Large \Phi(x) = xyz \\\)
Beispiel: Das Gravitationspotential einer (kleine) homogene Kugel vom Radius R und der konstanten Dichte ρ ist ausserhalb der Kugel (also für r > R):
\( \Large \Phi(r) = -\frac{G \cdot M}{r} \)
mit der Masse der Kugel: \( M = V \cdot \rho = \frac{4}{3} \pi R^3 \cdot \rho \)
Die Gezeitenkraft
Ein ausgedehner Körper wird in einem Gravitationsfeld auseinander gezogen, weil die Gravitationskraft ja mit der Entfernung abnimmt. Die “Vorderseite” eines Körpers wird stärker angezogen als die “Hinterseite”. Je größer die Abmessung des Körpers in Richtung Vorderseite/Hinterseite ist, desto größer die auseinanderziehende “Gezeitenkraft” als Differenz der Kräfte vorne/hinten..
Die Erdanziehung
Wie wir alle aus der Schule wissen, haben wir auf der Erdoberfläche eine Gravitationsbeschleunigung von ca. 9,81 m/s2
Das Gravitationsgesetz (s.o.) können wir auch schreiben als:
\( \Large a = G \frac{M}{r^2} \)
Wenn wir Kraft = Masse mal Beschleuigung, also F = m * a, benutzen.
Wenn wir den mittleren Erdradius als 6371 km annehmen, sind wir auf der Erdoberfläche also im Mittel 6371 km vom Erdmittelpunkt entfernt.
Die Erdmasse beträgt laut Wikipedia ca. 5,9772 * 1024 kg
Bei bekanntem Erdradius, bekannter Erdmasse und bekannter Gravitationskonstante kann man sich die mittlere Gravitationsbeschleunigung an der Erdoberfläche also ausrechnen:
\( \Large a = G \frac{5,9772 \cdot 10^{24}}{6371000^2} = 9,82 \)
Oder andersherum: Wenn man die Gravitationsbeschleunigung gemessen hat, den Erdradius kennt und die Gravitationskonstante misst (wie Henry Cavendish s.o.), kann man die Erdmasse bestimmen…
Die Kreisbahn (Kreisbewegung)
Für eine Kreisbahn mit dem Radius R wäre eine Zentripedalkraft erforderlich von:
\( F_Z = m \cdot \frac{v^2}{R}\)
So eine Zentripedalkraft soll durch die Gravitation des Zentralkörpers der Masse M bewirkt werden. Diese Gravitationskraft ist:
\( F_G = G \cdot \frac{m \cdot M}{R^2}\)
Rechnerisch ergibt sich daraus als Kreisbahngeschwindigkeit (sog. Erste kosmische Geschwindigkeit):
\( v_1 = \sqrt{\frac{G \cdot M}{R}} \)
Was bei der Erde bedeuten würde: 7,91 km/s.
Das wäre eine (theoretische) Keisbahn mit dem Radius R; also einer Höhe von Null Metern über der Erdoberfläche. Nehmen wir mal ein realistisches Beispiel: die ISS. Diese fliegt in ungefähr 400 km Höhe. Da kämen wir auf eine Geschwindigkeit von
Weiter draussen z.B. beim Mond ist die Kreisbahngeschwindigkeit kleiner. Da liegt die Kreisbahngeschwindigkeit nämlich so um 1 km/s.
Die Fluchtgeschwindigkeit
Damit ein Körper der Masse m von der Erdoberfläche entweichen kann, benötigt er eine kinetische Energie, die mindestens so groß ist wie seine potentielle Energie:
\( E_{kin} = \frac{m}{2} \cdot v^2 \)
Das Gravitationspotential auf der Erdoberfläche ist:
\( E_{pot} = \int\limits_{-\infty}^{R} G \cdot \frac{m \cdot M}{r^2} dr = G \cdot m \cdot M \cdot \left[ -\frac{1}{r} \right]_{-\infty}^R = -G \cdot m \cdot M \cdot \frac{1}{R}\)
Rechnerisch ergibt sich die Fluchtgeschwindigkeit (sog. Zweite kosmische Geschwindigkeit) zu:
\( v_2 = \sqrt{\frac{2 \cdot G \cdot M}{R}} \)
Was bei der Erde bedeuten würde: 11,2 km/s
Diese Zahl beruht ausschließlich auf der Gravitation der Erde; soll heissen andere Einflüsse wie Erdrotation oder etwaige Swing-By-Manöver könnten diese erforderliche Geschwindigkeit reduzieren – wie etwa bei den Mondflügen oder Voyager Raumsonden…
Bei einem Schwarzen Loch wäre die Fluchtgeschwindigkeit die Lichtgeschwindigkeit c. Wenn wir v2 = c setzen ergibt sich:
\( c = \sqrt{\frac{2 \cdot G \cdot M}{R}} \)
Aufgelöst nach dem Radius R ergibt sich:
\( R = \frac{2 \cdot G \cdot M}{c^2} \)
Bei einem solchen Radius könnte also kein Licht entkommen; deshalb werden solche Objekte “Schwarze Löcher” genannt. Bei einem kleineren Radius wäre die Fluchtgeschwindigkeit größer als die Lichtgeschwindigkeit; bei einem größeren Radius wäre die Fluchtgeschwindigkeit kleiner als die Lichtgeschwindigkeit. Man nennt diesen Radius den “Schwarzschild-Radius” oder auch den Ereignishorizont.
Genaugenommen müsste man hier die Gleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) verwenden, da wir hier mit Sicherheit relativistische Effekte wegen der starken Raumkrümmung hätten. Interessanterweise ist die Formel für den Ereignishorizont (Schwarzschild-Radius) aber bei der ART die gleiche wie hier in der “Milchmädchenrechnung”.
