Gehört zu: Astronomie, Sonnensystem
Siehe auch: Himmelsmechanik, Entfernungsbestimmung, Newtonsche Mechanik, Lichtgeschwindigkeit
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Stand: 24.01.2026
Die Zeit von Johannes Kepler
Johannes Kepler (1571-1630) lebte in bewegten Zeiten:
- 30 jähriger Krieg (1618-1648)
- Kleine Eiszeit (etwa 1570 bis 1630)
- Hexenverbrennungen (1550 und 1650)
- Gallileo Galilei (1564-1642)
- Nikolaus Kopernikus (1473-1543)
- …
Abbildung 1: Flammarion Holzschnitt (Wikimedia: FlammarionWoodcut.jpg)
Flammarion Holzschnitt (Wikipedia)
Die Keplerschen Gesetze
Die bahnbrechende Erkenntnis von Kepler war, die Kreisbahnen des heliozentrischen Weltbildes von Nikolaus Kopernikus (1473-1543) durch Ellipsen zu ersetzen. Johannes Kepler konnte dies durch Analyse der Beobachtungsdaten von Tycho Brahe (1546-1601) herleiten; besonders die relativ starke Exzentrizität (0,0934) der Bahn des Planeten Mars brachte Kepler dazu, Ellipsenbahnen anzunehmen. Einen genauen naturwissenschaftlichen Grund dafür konnte Kepler noch nicht angeben.
Kepler ging nicht von gesetzten Voraussetzungen aus (z.B. die Bahnen müssen aus Kreisen bestehen), sondern nur von dem, was beobachtet werden konnte; in diesem Fall von Tycho Brahes genauen Beobachtungsdaten. Kepler konnte daraus die Form der Marsbahn nach jahrelangen Versuchen als Ellipse finden. Voraussetzung dafür war zunächst die genaue Kenntnis der Bahn der Erde um die Sonne, da Tycho ja die Marspositionen relativ zur Erde gemessen hatte. Keplers mathematisches Handwerkszeug war damals fast ausschießlich die Geometrie; deshalb findet man in seiner Veröffentlichung “Astronomia Nova” von 1609 sehr viele geometrische Zeichnungen mit umfangreichen verbalen Erläuterungen.
Tycho Brahe hatte in einem Zeitraum von 20 Jahren sehr genaue Messungen (besser als 1 Bogenminute) der Positionen der Planeten und von ca. 800 Fixsternen gemacht.
Die Fernsehsendung “Johannes Kepler, der Himmelsstürmer” im Sender arte am 08.08.2020 beleuchtete das geniale Werk von Johannes Kepler.
Abbildung 2: Tycho Brahes Mauerquadrant (Wikipedia)
1. Keplersches Gesetz (1609 Astronomia Nova)
Die Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht
2. Keplersches Gesetz (1609 Astronomia Nova)
Der Fahrstrahl Sonne-Planet überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.
3. Keplersches Gesetz (1618 Harmonici Mundi)
Die Kuben der großen Halbachsen verhalten sich die die Quadrate der Umlaufzeiten.
Das erste Keplersche Gesetz
Eine Ellipse ist ein Kegelschnitt, der im Grenzfall (Exzentrizität = Null) ein Kreis wird.
Nach Newton haben wir eine Zentralkraft, die proportional zu \( \frac{1}{r^2} \) abnimmt.
Mit ein “bisschen Mathematik” ergeben sich daraus geschlossene Ellipsen als Bahnform.
In cartesischen Koordinaten ist eine Ellipse mit den Halbachsen a und b gegeben durch:
\( \Large \left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2= 1 \\\)
Die Exzentrizität einer Ellipse ist ein Maß für die Abweichung von der Kreisform und wird definiert durch:
\( \Large e = \frac{r_{max} – r_{min}}{r_{max} + r_{min}} \) (Wobei mit rmin und rmax immer die Entfernungen Sonne-Planet gemeint sind)
Zur Zeit beträgt die Exzentrizität der Erdbahn e = 0,0167 und schwankt mit dem Milankowitsch-Zyklus in T=100.000 Jahren minimal. Die Solarkonstante ändert sich mit vergleichsweise geringem Effekt (~2,4 W/m²). Quelle: https://wiki.bildungsserver.de/klimawandel/index.php/Erdbahnparameter
In Polarkoordinaten kann man die Bahn beschreiben als:
\(\Large r = \frac{a (1 – \epsilon^2)}{1 + \epsilon \cos{\phi}} \\ \)
Das zweite Keplersche Gesetz
Das zweite Keplersche Gesetz folgt allein aus der Tatsache, dass die wirkende Kraft immer genau in Richtung auf die Sonne gerichtet ist (sog. “Zentralkraft”). Damit muss nämlich der Drehimplus des Systems Sonne-Planet konstant bleiben.
Der Drehimplus des Sytems Sonne-Planet ist bekanntlich:
\( L = m \cdot r \cdot v = m \cdot r^2 \cdot \omega \)
Für die “überstrichene Fläche” A(t) gilt infinitesimal:
\( dA = \frac{1}{2} \cdot r(t) \cdot v(t) \cdot dt \)
Womit die “Flächengeschwindigkeit” eben konstant bleibt:
\( \frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} \cdot r(t) \cdot v(t) = \frac{L}{2 m} = const. \)
Quelle: https://www.forphys.de/Website/mech/kepler2.html
Als Beispiel habe ich mal die Bahn der Erde um die Sonne schematisch dargestellt. Das Produkt Bahngeschwindigkeit (v) mal Entfernung Erde-Sonne (r) ist proportional zum Drehmoment.
Abbildung 3: Schematische Darstellung der Bahn der Erde um die Sonne (pCloud: Ellipse.svg)
Schematische Darstellung der Bahn der Erde um die Sonne
Die Abweichung von der Kreisbahn ist beim Planeten Merkur noch größer. Die Exzentrizität der Merkur-Bahn beträgt 0,206.
Abbildung 4: Schematische Darstellung der Merkur-Bahn (pCloud: Ellipse_Merkur.svg)
Wegen der hohen Bahngeschwindigkeit des Merkur sind auch relativistische Effekte zu beobachten…
Bei einer Ruhemasse von m0 ergibt sich die relativistische Masse ja zu:
\( m_{rel} = \Large\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \)
wodurch sich leichte Unterschiede in der Masse des Merkur über seine Umlaufbahn hinweg ergeben (“Störungen”), was zu leicht unterschiedlichen Anziehungskräften führt, was schließlich die reine Kepler-Ellipse seiner Bahn beeinträchtigt.
Das dritte Keplersche Gesetz
Das “Dritte Keplersche Gesetz” bezieht sich nicht auf die Umlaufbahn eines Planeten, sondern setzt die Umlaufbahnen zweier Planeten zueinander in Beziehung, die sich um den gleichen Zentralkörper in Ellipsen bewegen (eventuelle Störungen durch weitere Körper vernachlässigen wir dabei).
Hier geht Kepler also schon (impliziet) von einem heliozentrischen Weltbild aus (Kopernikus).
Die Quadrate der Umlaufszeiten verhalten sich wie die Kuben der mitteren Entfernung. Als Formel also:
\( \Large \frac{a^3_1}{T^2_1} = \frac{a^3_2}{T^2_2} \\\)
Wenn man die Werte für die Planeten unseres Sonnensystems in doppelt logarithmischen Koordinaten aufträgt, bekommt man eine gerade Linie.
Abbildung 5: Keplers Drittes Gesetz Unser Sonnensystem (pCloud: 20240604 Kepler Drittes Gesetz.svg)
Wenn wir als Beispiel einmal die Bahnen von Erde und Jupiter vergleichen, so bekommen wir:
Erde: T1 = 1 Jahr, a1 = 1 AE
Jupiter: T2 = 11,86 Jahre, a2 = 5,2 AE
rechnerisch also:
\( \Large \frac{a^3}{T^2} = \frac{5.2^3}{11.86^2} = \frac{140.608}{140.6596} \\ \)
Durch Messung der (siderischen) Umlaufszeit eines Planeten könnten wir so also die Gr0ße Halbachse seiner Bahn bestimmen.
Das Dritte Keplersche Gesetz sagt damit etwas aus über den Zentralkörper: die Sonne. Wenn wir ein wenig vorgreifen, ist es die Masse des Zentralkörpers (M), die wir aus der Bahn eines umlaufenden Himmelskörpers bestimmen können; nach der Formel:
\( \frac{a^3}{T^2} = \frac{G \cdot M}{4 \pi^2}\\ \)
Schritt für Schritt kommen wir so zu diesem Ergebnis:
\( \frac{a^3}{T^2} = const. \)
Wobei T die (siderische) Umlaufszeit eines Planeten um die Sonne ist und a die große Halbachse seiner Bahn um die Sonne.
Massenbestimmung
Bei einer Kreisbahn eines Planeten um die Sonne muss die Gravitationskraft (Anziehungskraft) immer genau der Zentripedalkraft der Planetenbahn entsprechen. Also:
\( F = G \frac{m \cdot M}{r^2} = m \cdot \frac{v^2}{a} \)
Die Masse des Planeten m kürzt sich heraus:
\( G \frac{M}{r^2} = \frac{v^2}{a} \)
Die Bahngeschwindigkeit v erhalten wir als:
\( v = \frac{2 \pi a}{T} \)
Wenn wir das oben einsetzen ergibt sich:
\( G \frac{M}{a^2} = \frac{4 \pi^2 a^2}{a \cdot T^2} \)
oder umgestellt:
\( \frac{G \cdot M}{4 \pi^2} = \frac{a^3}{T^2} = const. \)
Quelle: https://www.schule-bw.de/faecher-und-schularten/mathematisch-naturwissenschaftliche-faecher/physik/unterrichtsmaterialien/mechanik_2/kepler/keplergravi.htm
Umlaufszeiten und Große Halbachse kann man meistens leicht messen. Zur Bestimmung der Masse des Zentralkörpers fehlt also noch die Größe der Gravitationskonstanten G. Deshalb sagte man zu den Experimenten, die Gravitationskonstante zu bestimmen: “Wir wiegen die Erde”.
\( M = \frac{4\pi^2}{G} \frac{a^3}{T^2} \)
Bestimmung der Erdmasse
Anhand der Bahndaten des Mondes bestimmen wir die Masse der Erde mithilfe des Dritten Keplerschen Gesetzes.
Bahndaten Mond
- Umlaufzeit (siderischer Monat) 27,32166 Tage = 2 360 591,424 s
- Große Halbachse 383 397,7916 km = 383 397 791,6 m (zur Messung benötigt man die Entfernung des Mondes)
Nach dem 3. Keplerschen Gesetz finden wir:
\( \Large M = \frac{4 \pi^2}{G} \cdot \frac{a^3}{T^2} = \frac{4 \pi^2}{6.77} \cdot \frac{383397 791.6^3}{2360591.424^2} = 5.9822 \cdot 10^{24} kg\)
Bestimmung der Sonnenmasse
Anhand der Bahndaten der Erde bestimmen wir die Masse der Sonne mithilfe des Dritten Keplerschen Gesetzes.
Bahndaten Erde
- Umlaufzeit (siderisches Jahr) 365,256 363 2 Tage = 31 558 149,78048 s
- Große Halbachse 149 598 022,96 km = 149 598 022 960 m (zur Messung benötigt man die Entfernung der Sonne)
Nach dem 3. Keplerschen Gesetz finden wir:
\( \Large M = \frac{4 \pi^2}{G} \cdot \frac{a^3}{T^2} = \frac{4 \pi^2}{6.77} \cdot \frac{149598022960^3}{31558149.8^2} = 1.98842 \cdot 10^{30} kg\)
Bestimmung der Jupitermasse
Anhand der Bahndaten des Jupitermondes Kallisto bestimmen wir die Masse des Jupiters mithilfe des Dritten Keplerschen Gesetzes.
Bahndaten Kallisto
- Umlaufzeit 16,689 Tage = 1.441.929,60 s
- Große Halbachse 1882700 km =1.882.700.000 m (zur Messung benötigt man die Entfernung des Jupiters)
Nach dem 3. Kaplerschen Gesetz finden wir:
\( \Large M = \frac{4 \pi^2}{G} \cdot \frac{a^3}{T^2} = \frac{4 \pi^2}{6.77} \cdot \frac{1882700000^3}{1441929.6^2} = 1.90 \cdot 10^{27} kg\)
Der Kuiper-Gürtel
Der Kuiper-Gürtel in unserem Sonnensystem soll sich in Entfernungen von 30 bis 50 AU befinden.
Nach dem 3. Keplerschen Gesetz ergiebt das Umlaufzeiten von 165 bis 350 Jahren, wenn wir annehmen, dass die Masse innerhalb von 30 AU im wesentlichen die gleiche ist, wie bei den Planetenbahnen – also einfach die Sonnenmasse.
Die meisten der kurzperiodische Kometen (Umaufszeit kleiner 200 Jahre) stammen wohl aus dem Kuiper-Gürtel während langperiodische Kometen von weiter draussen kommen, was man die Oortsche Wolke nennt.
Schwarzes Loch im Zentrum unserer Galaxie
Um das Schwarze Loch im Zentrum unserer Galaxie (Sgr A*) kreisen einige Sterne, deren Bahnen man bestimmen konnte.
Bahndaten S2
- Umlaufzeit: 16,018 Jahre = 5850,5745 Tage = 505489637 s
- Große Halbachse: ca. 950 AE = 1,4 1011 km = 1,4 1014 m
Mit diesen Bahndaten von S2 finden wir nach dem 3. Kaplerschen Gesetz:
\( \Large M = \frac{4 \pi^2}{G} \cdot \frac{a^3}{T^2} = \frac{4 \pi^2}{6.77} \cdot \frac{1,4 10 14^3}{505489637^2} = 6.352 \cdot 10^{36} kg\)
Diese Masse entspricht 3,19 Mio Sonnenmassen. Heutzutage (1026) gehen die Wissenschaftler von 4,1 Mio Sonnenmassen aus.
Masse unserer Galaxis
Das dritte Keplersche Gesetz gilt nicht nur für eine Punktmasse im Zentrum. Die Zentralmasse ist einfach die im Bahnradius eingeschlossene Masse – auch wenn sie räumlich verteilt ist. Der Radius ist dabei der Abstand vom Schwerpunkt der eingeschlossenen Masse.
Unser Sonnensystem umkreist das Zentrum (Schwerpunkt) der Galaxie in einer annäherungsweisen Kreisbahn.
Bahndaten Sonnensystem
- Umlaufzeit: ca. 230 Mio Jahre = 84 007,5 Mio Tage = 7 258 248 000 Mio s = 7,258248 1015 s
- Radius: ca. 26000 LJ = 245 960 Billionen km = 2,46 1017 km = 2,46 1020 m
Mit diesen Bahndaten des Sonnensystems finden wir nach dem 3. Keplerschen Gesetz als umschlossene Masse:
\( \Large M = \frac{4 \pi^2}{G} \cdot \frac{a^3}{T^2} = \frac{4 \pi^2}{6.77} \cdot \frac{2,46^3 \cdot 10^{60}}{7.258248^2 \cdot 10^{30}} = 1.69 \cdot 10^{41} kg\)
Diese Masse entspricht 8,5 1010 Sonnenmassen.Das wäre die Masse (also leuchtende und dunkle Materie) im umschlossenen Raum.
Wenn man die Gesamtmasse ermitteln wollte, müsste man die Geschwindigkeit von Materie am äußersten Rand der Milchstrasse messen. Das macht man heutzutage (2026) durch Messung der 21cm-Linie von Wasserstoff-Wolken. Damit kommen die Wissenschaftler auf ca. 1,5 Billionen Sonnenmassen (1,5 1012)
